Mostre que (a ^ 2sin (B-C)) / (senB + sinC) + (b ^ 2sin (C-A)) / (sinC + sinA) + (c 2sin (A-B)) / (sinA + sinB) = 0?

1ª parte

# (a ^ 2sin (B-C)) / (sinB + sinC) #

# = (4R ^ 2sinAsin (B-C)) / (sinB + sinC) #

# = (4R ^ 2sin (pi- (B + C)) sen (B-C)) / (sinB + sinC) #

# = (4R ^ 2sin (B + C) sen (B-C)) / (sinB + sinC) #

# = (4R ^ 2 (sen ^ 2B-sin ^ 2C)) / (sinB + sinC) #

# = 4R ^ 2 (sinB-sinC) #

similarmente

2ª parte

# = (b ^ 2sin (C-A)) / (sinC + sinA) #

# = 4R ^ 2 (sinC-sinA) #

3 parte

# = (c ^ 2sin (A-B)) / (sinA + sinB) #

# = 4R ^ 2 (sinA-sinB) #

Adicionando três partes, temos

A expressão dada #=0#

Como você prova (cosA + cosB) ^ 2 + (sinA + sinB) ^ 2 = 4 * cos ^ 2 ((A-B) / 2)? 2)

LHS = (cosA + cosB) ^ 2 + (sinA + sinB) ^ 2 = [2 * cos ((A + B) / 2) * cos ((AB) / 2)] ^ 2+ [2 * sin (( A + B) / 2) * cos ((AB) / 2)] ^ 2 = 4cos ^ 2 ((AB) / 2) [sen ^ 2 ((A + B) / 2) + cos ^ 2 ((A + B) / 2)] = 4cos ^ 2 ((AB) / 2) * 1 = 4cos ^ 2 ((AB) / 2) = RHS

(CosA + 2CosC) / (CosA + 2CosB) = SinB / SinC, Prove que o triângulo é isósceles ou em ângulo reto?

Dado rarr (cosA + 2cosC) / (cosA + 2cosB) = sinB / sinC rarrcosAsinB + 2sinB * cosB = cosAsinC + 2sinCcosC rarrcosAsinB + sin2B = cosAsinC + sin2C rarrcosA (sinB-sinC) + sin2B-sin2C = 0 rarrcosA [2sin (( BC) / 2) * cos ((B + C) / 2)] + 2 * sen ((2B-2C) / 2) * cos ((2B + 2C) / 2)] = 0 rarrcosA [2sin ((BC ) / 2) * cos ((B + C) / 2)] + 2 * sen (BC) * cos (B + C)] = 0 rarrcosA [2sin ((BC) / 2) * cos ((B + C) ) / 2)] + cosA * 2 * 2 * sen ((BC) / 2) * cos ((BC) / 2)] = 0 rarr2cosA * sen ((BC) / 2) [cos ((B + C) / 2) + 2cos ((BC) / 2)] = 0 Ou cosA = 0 rarrA = 90 ^ @ ou, sin ((BC) / 2) = 0 rarrB = C Portanto, o triângulo

Verifique se sin (A + B) + sin (A-B) = 2sinA sinB?

"ver explicação"> "usando a" cor (azul) "fórmulas de adição para o pecado" • cor (branco) (x) sen (A + -B) = sinAcosB + -cosAsinB rArrsin (A + B) = sinAcosB + cosAsinB rArrsin (AB ) = sinAcosB-cosAsinB rrsrsin (A + B) + sen (AB) = 2sinAcosB! = 2sinAsinBlarr "verifique sua dúvida"