A razão comum de uma progressão ggeométrica é r o primeiro termo da progressão é (r ^ 2-3r + 2) e a soma do infinito é S Mostre que S = 2-r (eu tenho) Encontre o conjunto de valores possíveis que S pode aguentar?

Responda:

# S = a / {1-r} = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r #

Desde a # | r | <1 # Nós temos # 1 <S <3 #

Explicação:

Nós temos

# S = sum_ {k = 0} ^ {infty} (r ^ 2-3r + 2) r ^ k #

A soma geral de uma série geométrica infinita é

#sum_ {k = 0} ^ {infty} a r ^ k = a / {1-r} #

No nosso caso, #S = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r #

Séries geométricas só convergem quando # | r | <1 #, então nós temos

# 1 <S <3 #

Responda:

#color (azul) (1 <S <3) #

Explicação:

# ar ^ (n-1) #

Onde # bbr # é o rácio comum, # bba # é o primeiro termo e # bbn # é o enésimo termo.

Dizem que a proporção comum é # r #

Primeiro termo é # (r ^ 2-3r + 2) #

A soma de uma série geométrica é dada como:

#a ((1-r ^ n) / (1-r)) #

Para a soma ao infinito, isso simplifica:

# a / (1-r) #

Somos informados que esta soma é S.

Substituindo em nossos valores para a e r:

# (r ^ 2-3r + 2) / (1-r) = S #

Fator o numerador:

# ((r-1) (r-2)) / (1-r) = S #

Multiplique o numerador e o denominador por #-1#

# ((r-1) (2-r)) / (r-1) = S #

Cancelando:

# (cancelar ((r-1)) (2-r)) / (cancelar ((1-r))) = S #

# S = 2-r #

Para encontrar os valores possíveis, lembramos que uma série geométrica só tem uma soma infinita se # -1 <r <1 #

# 2-1 <2 -r <1 + 2 #

# 1 <2-r <3 #

isto é

# 1 <S <3 #