Prove que o número sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) não é racional para qualquer número natural n maior que 1?

Responda:

Veja a explicação …

Explicação:

Suponha que:

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n))) # é racional

Então seu quadrado deve ser racional, ou seja:

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

e assim é assim:

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n))) #

Podemos repetidamente enquadrar e subtrair para descobrir que o seguinte deve ser racional:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):} #

Conseqüentemente # n = k ^ 2 # para algum inteiro positivo #k> 1 # e:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

Observe que:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

Conseqüentemente # k ^ 2 + k-1 # não é o quadrado de um inteiro e #sqrt (k ^ 2 + k-1) # é irracional, contradizendo nossa afirmação de que #sqrt (n-1 + sqrt (n)) # é racional.

Responda:

Ver abaixo.

Explicação:

Assumindo

#sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + sqrt (n))) = p / q # com # p / q # não redutível temos

#sqrtn = (cdots (((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1)) = P / Q #

o que é um absurdo, porque de acordo com esse resultado, qualquer raiz quadrada de um inteiro positivo é racional.