Como você converte r = 1 / (4 - costheta) em forma cartesiana?

Responda:

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Explicação:

Ei, Socrático: É realmente necessário nos dizer que isso foi perguntado 9 minutos atrás? Eu não gosto de ser mentido. Diga-nos que foi perguntado há dois anos e que ninguém conseguiu fazê-lo ainda. Além disso, o que há com as perguntas de forma suspeita, com frases idênticas, feitas em vários lugares? Sem mencionar Santa Cruz, Estados Unidos? Há quase certamente mais de um, embora eu ouça o da Califórnia em bom estado. Credibilidade e reputação são importantes, especialmente em um site de lição de casa. Não engane as pessoas. Fim divertido

Ao converter equações de coordenadas polares a retangulares, a força bruta retangular à substituição polar

#r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

#theta = text {arctan2} (y "/," x) quad #

raramente é a melhor abordagem. (Eu estou intencionalmente indicando a tangente inversa de quatro quadrantes aqui, mas não vamos nos desviar).

Idealmente, queremos usar as substituições polares a retangulares, #x = r cos theta #

# y = r sin theta #

# x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 teta + r ^ 2 sin ^ 2 teta = r ^ 2 #

OK, vamos dar uma olhada na questão.

# r = 1 / {4 - cos theta} #

Essas equações polares geralmente permitem # r #mas aqui temos certeza # r # é sempre positivo.

#r (4 - cos theta) = 1 #

Essas são elipses, o que realmente não importa, mas nos dá uma ideia do que esperamos que seja a forma retangular. Queremos apontar para algo sem raízes quadradas ou arctangents # r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} # tem raízes quadradas, mas #rcos theta = x # não, então nós expandimos.

# 4r - rcos theta = 1 #

Agora nós apenas substituímos; vamos fazer isso em etapas.

# 4r -x = 1 #

# 4r = x + 1 #

Vamos esquadrinhar agora. Nós sabemos #r> 0. #

# 16 r ^ 2 = (x + 1) ^ 2 #

# 16 (x ^ 2 + y ^ 2) = (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 #

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Esta é uma elipse bonita e circular. (Uma constante menor que #4# no original daria uma elipse mais excêntrica.) Poderíamos completar o quadrado para colocá-lo na forma padrão, mas vamos deixá-lo aqui.