Qual número produz um número irracional quando adicionado a 1/4?

Responda:

Qualquer número irracional, por ex. #sqrt (2) #

Explicação:

#x + 1/4 # é irracional se e somente se # x # é irracional.

Equivalentemente, #x + 1/4 # é racional se e somente se # x # é racional.

Para provar isso, podemos proceder da seguinte maneira:

Primeiro suponha que # x + 1/4 # é racional.

Então existem alguns inteiros #p, q #com #q> 0 # de tal modo que:

# x + 1/4 = p / q #

Subtraindo #1/4# de ambos os lados, isso se torna:

#x = p / q - 1/4 = (4p-q) / (4q) #

o que é racional.

Por outro lado, se # x # é racional, então há inteiros #m, n # com #n> 0 # de tal modo que #x = m / n # e encontramos:

# x + 1/4 = m / n + 1/4 = (4m + n) / (4n) #

que também é racional.