Como você verifica a identidade a seguir?

Responda:

Use algumas identidades trigonométricas e muita simplificação. Ver abaixo.

Explicação:

Ao lidar com coisas como # cos3x #, ajuda a simplificá-lo para funções trigonométricas de uma unidade # x #; ou seja, algo como # cosx # ou # cos ^ 3x #. Podemos usar a regra da soma para cosseno para realizar isso:

#cos (alfa + beta) = cosalphacosbeta-sinalphasinbeta #

Então, desde # cos3x = cos (2x + x) #, temos:

#cos (2x + x) = cos2xcosx-sin2xsinx #

# = (cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx) #

Agora podemos substituir # cos3x # com a expressão acima:

# (cos3x) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

# ((cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (senx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Podemos dividir essa fração maior em duas frações menores:

# ((cos ^ 2x-sin ^ 2x) (cosx)) / cosx - ((2sinxcosx) (senx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Observe como os cossenos são cancelados:

# ((cos ^ 2x-sin ^ 2x) cancelar (cosx)) / cancelar (cosx) - ((2sinxcancel (cosx)) (sinx)) / cancelcosx = 1-4sin ^ 2x #

# -> cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Agora adicione um # sin ^ 2x-sin ^ 2x # no lado esquerdo da equação (que é a mesma coisa que adicionar #0#). O raciocínio por trás disso ficará claro em um minuto:

# cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x + (sen ^ 2x-sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Reorganize os termos:

# cos ^ 2x + sin ^ 2x- (sen ^ 2x + sin ^ 2x + 2sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Use a identidade pitagórica # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # e combinar o # sin ^ 2x #s entre parênteses:

# 1- (4sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Você pode ver que nosso pequeno truque de adicionar # sin ^ 2x-sin ^ 2x # nos permitiu usar a Identidade Pitagórica e coletar o # sin ^ 2x # termos.

E voila:

# 1-4sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Q.E.D.