O resto quando x ^ (2011) é dividido por x ^ 2 -3x + 2 é?

Responda:

# ((2 ^ 2011 - 1) x - (2 ^ 2011 - 2)) / (x ^ 2 - 3x + 2) #

Explicação:

Uma maneira fácil de ver isso é começar a dividir a expressão usando Divisão Longa. Escreva o dividendo (abaixo do símbolo de divisão) com zeros

# x ^ 2011 + 0x ^ 2010 + 0x ^ 2009 + 0x ^ 2008 + …. 0 #

Não precisaremos de todos os termos para notar o padrão.

Quando você começar a dividir, você vai observar que o primeiro termo tem um coeficiente de 1, o segundo tem um coeficiente de 3, o terceiro tem um coeficiente de 7, depois 15, depois 31, etc.

Esses números têm a forma # 2 ^ m - 1 #.

O restante aparecerá depois que você tiver dividido a coisa toda, consistindo no # 2011 ^ (th) # e # 2012 ^ (th) # termos.

O primeiro termo no quociente seguirá o mesmo padrão, tendo #2^2011-1# como seu coeficiente. O último coeficiente é um a menos que #2^2011-1# -- isto é #2^2011 - 2#ou #2(2^2010 - 1)#.

O mesmo padrão é verdadeiro para todas as divisões da forma

# x ^ m / (x ^ 2 - 3x + 2) #, Onde #m> = 3 #.

Você também pode perceber que # x ^ 2011 - 1 # é um múltiplo de #x - 1 #, o que cancelaria um fator no denominador.

Responda:

Ver abaixo.

Explicação:

# x ^ 2011 = Q (x) (x-1) (x-2) + um x + b #

Onde #Q (x) # é um #2009# grau polinomial e # (x-1) (x-2) = x ^ 2-3x + 2 #

Agora nós sabemos

# 1 ^ 2011 = a + b #

# 2 ^ 2011 = 2a + b #

Resolvendo para # a, b # nós obtemos

#a = 2 ^ 2011-1, b = 2-2 ^ 2011 # e depois

#r (x) = (2 ^ 2011-1) x + 2-2 ^ 2011 # que é o restante.