Qual é a fórmula para encontrar a área de um dodecágono comum?

Responda:

#S _ ("dodecágono comum") = (3 / (tan 15 ^ @)) "lado" ^ 2 ~ = 11.196152 * "lado" ^ 2 #

Explicação:

Pensando em um dodecágono regular inscrito em um círculo, podemos ver que ele é formado por 12 triângulos isósceles cujos lados são o raio do círculo, o raio do círculo e o lado do dodecágono; em cada um desses triângulos, o ângulo oposto ao lado do dodecágono é igual a #360^@/12=30^@#; a área de cada um desses triângulos é # ("lado" * "altura) / 2 #, só precisamos determinar a altura perpendicular ao lado do dodecágono para resolver o problema.

No triângulo isósceles mencionado, cuja base é o lado do dodecágono e cujos lados iguais são os raios do círculo, cujo ângulo se opõe à base (#alfa#) é igual a #30^@#, há apenas uma linha desenhada a partir do vértice no qual os raios do círculo se encontram (ponto C) que intercepta perpendicularmente o lado do dodecágono: essa linha corta o ângulo #alfa# bem como define a altura do triângulo entre o ponto C e o ponto em que a base é interceptada (ponto M), bem como divide a base em duas partes iguais (tudo porque os dois triângulos menores assim formados são congruentes).

Como os dois triângulos menores mencionados são os corretos, podemos determinar a altura do triângulo isósceles da seguinte maneira:

#tan (alpha / 2) = "cathetus oposto" / "cathetus adjacente" # => #tan (30 ^ @ / 2) = ("lado" / 2) / "altura" # => #height = "lado" / (2 * tan 15 ^ @) #

Então nós temos

# S_ (dodecágono) = 12 * S_ (triângulo) = 12 * (("lado") ("altura")) / 2 = 6 * ("lado") ("lado") / (2 * tan 15 ^ @) # => #S_ (dodecagon) = 3 * ("lado") ^ 2 / (tan 15 ^ @) #