A soma do quadrado de três inteiros é 324. Como você encontra os inteiros?

Responda:

A única solução com números inteiros positivos distintos é #(2, 8, 16)#

O conjunto completo de soluções é:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

Explicação:

Podemos nos poupar algum esforço considerando o que os quadrados de formulário assumem.

E se # n # é um inteiro ímpar, então #n = 2k + 1 # para algum inteiro #k # e:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

Observe que este é um inteiro ímpar da forma # 4p + 1 #.

Então, se você adicionar os quadrados de dois inteiros ímpares, você sempre obterá um inteiro do formulário # 4k + 2 # para algum inteiro #k #.

Observe que #324 = 4*81# é da forma # 4k #, não # 4k + 2 #.

Daí podemos deduzir que os três inteiros devem todos ser par.

Há um número finito de soluções em números inteiros desde # n ^ 2> = 0 # para qualquer inteiro # n #.

Considere soluções em números inteiros não negativos. Podemos adicionar variantes envolvendo números inteiros negativos no final.

Suponha que o maior número inteiro seja # n #, então:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

Assim:

# 12 <= n <= 18 #

Isso resulta em possíveis somas de quadrados dos outros dois inteiros:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

Para cada um desses valores #k #, suponha que o maior inteiro restante seja # m #. Então:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

e nós exigimos # k-m ^ 2 # para ser um quadrado perfeito.

Por isso, encontramos soluções:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

Portanto, a única solução com números inteiros positivos distintos é #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

É fácil mostrar que # x, y # e # z # deve ser mesmo porque fazendo # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # e # z = 2m_z # temos

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # ou

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # o que é absurdo.

Então, vamos considerar a partir de agora

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

Agora considerando a identidade

# ((l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n) ^ 2 + (2l) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n) ^ 2 #

com # l, m, n # inteiros positivos arbitrários e fazendo

# {(m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n), (m_y = 2l), (m_z = 2m), (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} # ------ 1

temos

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # ou resolvendo para # n #

#n = 1/2 (9pm sqrt (9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2))) #

então, para a viabilidade, precisamos

# 9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2) = p ^ 2 # ou

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (l ^ 2 + m ^ 2) = q #

então para # p = {1,2,3,4,5,6,7,8} # nós teremos

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # então o possível # q # está

#q_f = {80,72,56,32} # Porque #q equiv 0 mod 4 #

então temos que encontrar

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # ou

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = bar q_i = {20,18,14,8} #

Aqui, como podemos facilmente verificar, a única solução é para

# l_1 = 2, m_1 = 4 # Porque

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = bar q_1 #

e consequentemente # n_1 = {4,5} #

e substituindo em 1 nós temos

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

dando a solução

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16):}