Dois cantos de um triângulo têm ângulos de (3 pi) / 8 e pi / 6. Se um lado do triângulo tem um comprimento de 1, qual é o maior perímetro possível do triângulo?

Responda:

O maior perímetro possível é de aproximadamente #4.8307#.

Explicação:

Primeiro, encontramos o ângulo restante, usando o fato de que os ângulos de um triângulo somam # pi #:

Para #triangle ABC #:

Deixei #angle A = (3pi) / 8 #

Deixei #angle B = pi / 6 #

Então

#angle C = pi - (3pi) / 8 - pi / 6 #

#color (branco) (ângulo C) = pi - (9pi) / 24 - (4pi) / 24 #

#color (branco) (ângulo C) = (11pi) / 24 #

Para qualquer triângulo, o lado mais curto é sempre oposto ao menor ângulo. (O mesmo vale para o lado mais longo e o maior ângulo.)

Para maximizar o perímetro, o comprimento lateral conhecido deve ser o menor. Então, desde #angle B # é o menor (em # pi / 6 #), montamos # b = 1 #.

Agora podemos usar a lei do seno para calcular os dois lados restantes:

#sin A / a = sinB / b #

# => a = b vezes (sinA) / (sinB) #

#color (branco) (=> a) = 1 * (sin ((3pi) / 8)) / (sin (pi / 6)) #

#color (branco) (=> a) ~~ 0.9239 / 0.5 "" "" = 1.8478 #

Uma fórmula similar é usada para mostrar #c ~~ 1.9829 #.

Adicionando estes três valores (de #uma#, # b #e # c #) juntos irá produzir o maior perímetro possível para um triângulo como o descrito:

# P = "" a "" + b + "" c #

#color (branco) P ~~ 1.8478 + 1 + 1.9829 #

#color (branco) P = 4.8307 #

(Como se trata de uma questão de geometria, você pode ser solicitado a fornecer a resposta da forma exata, com radicais. Isso é possível, mas um pouco entediante por causa de uma resposta aqui, e é por isso que eu dei a minha resposta como uma resposta. valor decimal aproximado.)

Dois cantos de um triângulo têm ângulos de (2 pi) / 3 e (pi) / 4. Se um lado do triângulo tem um comprimento de 12, qual é o maior perímetro possível do triângulo?

O perímetro mais longo possível é 12 + 40,155 + 32,786 = 84,941. Como dois ângulos são (2pi) / 3 e pi / 4, o terceiro ângulo é pi-pi / 8-pi / 6 = (12pi-8pi-3pi) / 24- = pi / 12. Para o perímetro mais longo do comprimento 12, digamos a, tem que ser oposto ao menor ângulo pi / 12 e então usando a fórmula seno outros dois lados serão 12 / (sin (pi / 12)) = b / (sin ((2pi) / 3)) = c / (sin (pi / 4)) Assim, b = (12s ((2pi) / 3)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.866) /0,2588 = 40,155 e c = ( 12xxsin (pi / 4)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.7071) /0.2588 = 32.786 Assim, o perí

Dois cantos de um triângulo têm ângulos de (2 pi) / 3 e (pi) / 4. Se um lado do triângulo tem um comprimento de 4, qual é o maior perímetro possível do triângulo?

P_max = 28,31 unidades O problema fornece dois dos três ângulos em um triângulo arbitrário. Como a soma dos ângulos em um triângulo deve somar 180 graus, ou pi radianos, podemos encontrar o terceiro ângulo: (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi x = pi- (2pi) / 3- pi / 4 x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 x = pi / 12 Vamos desenhar o triângulo: O problema afirma que um dos lados do triângulo tem um comprimento de 4, mas não especifica qual lado. No entanto, em qualquer triângulo dado, é verdade que o menor lado será oposto ao menor ângulo. Se quisermos maximiz

Dois cantos de um triângulo têm ângulos de (2 pi) / 3 e (pi) / 4. Se um lado do triângulo tem um comprimento de 19, qual é o maior perímetro possível do triângulo?

Cor do perímetro mais longa possível (verde) (P = 19 + 51.909 + 63.5752 = 134.4842) Três ângulos são (2pi) / 3, pi / 4, pi / 12 quando os três ângulos se somam ao pi Para obter o perímetro mais longo, o lado 19 deve corresponder ao menor ângulo pi / 12 19 / sin (pi / 12) = b / sen (pi / 4) = c / sen ((2pi) / 3) b = (19 * sin (pi / 4) ) / sin (pi / 12) = 51.909 c = (19 * sen ((2pi) / 3)) / sin (pi / 12) = 63.5752 Cor perimetral mais longa possível (verde) (P = 19 + 51.909 + 63.5752 = 134.4842 )