O que é int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx?

Responda:

#= 1/4#

Explicação:

# int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx #

# = int_1 ^ e d / dx (1 / 4ln ^ 2x) dx #

# = 1/4 ln ^ 2x _1 ^ e #

# = 1/4 1 ^ 2 - 0 _1 ^ e = 1/4 #

Responda:

#1/4#

Explicação:

Pode fazer isso de várias maneiras, aqui estão duas delas. O primeiro é usar uma substituição:

#color (vermelho) ("Método 1") #

# int_1 ^ e (ln (x)) / (2x) dx = 1/2 int_1 ^ e (ln (x)) / (x) dx #

Deixei #u = ln (x) implica du = (dx) / x #

Transformando os limites:

#u = ln (x) implica em u: 0 rarr 1 #

Integral torna-se:

# 1 / 2int_0 ^ 1 u du = 1/2 1 / 2u ^ 2 _0 ^ 1 = 1/2 * 1/2 = 1/4 #

Essa é a maneira mais simples, mas você nem sempre pode fazer uma substituição. Uma alternativa é a integração por partes.

#color (vermelho) ("Método 2") #

Use integração por partes:

Para funções #u (x), v (x) #:

#int uv 'dx = uv - int u v dx #

#u (x) = ln (x) implica u '(x) = 1 / x #

#v '(x) = 1 / (2x) implica v (x) = 1 / 2ln (x) #

#int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) - int (ln (x)) / (2x) dx #

Agrupando termos semelhantes:

# 2 int (ln (x)) / (2x) dx = 1/2 ln (x) ln (x) + c #

#então int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) + c #

Estamos trabalhando com uma integral definida, aplicando limites e removendo a constante:

#int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) _ 1 ^ e #

# = 1 / 4In (e) ln (e) - 1 / 4ln (1) ln (1) #

#ln (e) = 1, ln (1) = 0 #

#implies int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1/4 #