Seja P qualquer ponto na cônica r = 12 / (3-sin x). Seja F¹ e F² os pontos (0, 0 °) e (3, 90 °), respectivamente. Mostrar que PF¹ e PF² = 9?

Responda:

#r = 12 / {3-sin theta} #

Somos convidados a mostrar # | PF_1 | + | PF_2 | = 9 #, isto é # P # varre uma elipse com focos # F_1 # e # F_2. # Veja a prova abaixo.

Explicação:

Vamos consertar o que eu acho que é um erro de digitação e dizer #P (r, teta) # satisfaz

#r = 12 / {3-sin theta} #

A gama de seno é #pm 1 # então nós concluímos # 4 le r le 6. #

# 3r - r sin theta = 12 #

# | PF_1 | = | P - 0 | = r #

Em coordenadas retangulares, # P = (r cos teta, r sin teta) # e # F_2 = (3 cos 90 ^ circ, 3 sin 90 ^ circ) = (0,3) #

# | PF_2 | ^ 2 = | P-F_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 teta + (r sin teta - 3) ^ 3 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 teta + r ^ 2 sin ^ 2 teta - 6 r sin teta + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 r sin teta + 9 #

#r sin theta = 3r -12 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 (3r - 12) + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 18r + 81 = (r-9) ^ 2 #

# | PF_2 | = | r-9 | #

# | PF_2 | = 9-r quad # desde que já sabemos # 4 le r le 6. #

# | PF_1 | + | PF_2 | = r + 9 -r = 9 quad sqrt #