Suponha que a_n seja monótono e converge e b_n = (a_n) ^ 2. O b_n necessariamente converge?

Suponha que a_n seja monótono e converge e b_n = (a_n) ^ 2. O b_n necessariamente converge?
Anonim

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Sim.

Explicação:

Deixei #l = lim_ (n -> + oo) a_n #.

#a# é tão monótono # b_n # também será monótono e #lim_ (n -> + oo) b_n = lim_ (n -> + oo) (a_n) ^ 2 = (lim_ (n -> + oo) (a_n)) ^ 2 = l ^ 2 #.

É como com funções: se # f # e # g # tem um limite finito em #uma#então o produto # f.g # terá um limite em #uma#.