Prove que a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3-3abc = (a + b + c) (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2-ab-bc-ca). Como posso resolver isso sem expandir tudo? THX

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Por favor, consulte o Explicação.

Explicação:

Sabe-se que, # (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) #.

#:. a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ^ 3-3ab (a + b) …………………………(Estrela)#.

Configuração, # (a + b) = d, "temos", a ^ 3 + b ^ 3 = d ^ 3-3abd #.

#:. ul (a ^ 3 + b ^ 3) + c ^ 3-3abc #, # = d ^ 3-3abd + c ^ 3-3abc #,

# = ul (d ^ 3 + c ^ 3) -ul (3abd-3abc) #, # = ul ((d + c) ^ 3-3dc (d + c)) - 3ab (d + c) ………… porque, (estrela) #, # = (d + c) ^ 3-3 (d + c) (dc + ab) #, # = (d + c) {(d + c) ^ 2-3 (dc + ab)} #, # = (d + c) {d ^ 2 + 2dc + c ^ 2-3dc-3ab} #, # = (d + c) {d ^ 2 + c ^ 2-dc-3ab} #, # = (a + b + c) {(a + b) ^ 2 + c ^ 2- (a + b) c-3ab} …… porque, d = a + b, #

# = (a + b + c) {ul (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2) + c ^ 2-ac-bc-3ab} #.

# = (a + b + c) (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2-ab-bc-ca) #, como desejado!

Desfrute de matemática. e espalhe a alegria!