Os raios de dois círculos concêntricos são de 16 cm e 10 cm. AB é um diâmetro do círculo maior. O BD é tangente ao círculo menor que o toca em D. Qual é o comprimento do AD?

Responda:

#bar (AD) = 23,5797 #

Explicação:

Adotando a origem #(0,0)# como o centro comum para # C_i # e # C_e # e chamando # r_i = 10 # e # r_e = 16 # o ponto de tangencia # p_0 = (x_0, y_0) # está na interseção #C_i nn C_0 # Onde

# C_i-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2 #

# C_e-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

Aqui # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Resolvendo para #C_i nn C_0 # temos

# {(x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2), ((x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2):} #

Subtraindo o primeiro da segunda equação

# -2xr_e + r_e ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2-r_i ^ 2 # assim

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # e # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

Finalmente, a distância desejada é

#bar (AD) = sqrt ((r_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = sqrt (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

ou

#bar (AD) = 23,5797 #

Explicação:

E se #bar (BD) # é tangente a # C_i # então #hat (ODB) = pi / 2 # então podemos aplicar o pitágoras:

#bar (OD) ^ 2 + bar (DB) ^ 2 = bar (OB) ^ 2 # determinando # r_0 #

# r_0 ^ 2 = bar (OB) ^ 2-bar (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

O ponto # D # coordenadas, chamadas # (x_0, y_0) # deve ser obtido antes de calcular a distância desejada #bar (AD) #

Há muitas maneiras de fazer isso. Um método alternativo é

# y_0 = bar (BD) sin (chapéu (OBD)) # mas #sin (hat (OBD)) = bar (OD) / bar (OB) #

então

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # e

# x_0 = sqrt (r_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

Como por dados dados a figura acima é desenhada.

O é o centro comum de dois círculos concêntricos

#AB -> "diâmetro do círculo maior" #

# AO = OB -> "raio do círculo maior" = 16 cm #

#DO -> "raio do círculo menor" = 10cm #

#BD -> "tangente ao círculo menor" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

Deixei # / _ DOB = theta => / _ AOD = (180-theta) #

Em #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10/16 #

Aplicando lei cosseno em #Delta ADO # Nós temos

# AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos / _AOD #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos (180-theta) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOcostheta #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOxx (OD) / (OB) #

# => AD ^ 2 = 16 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23,58 cm #