Quais são as assíntotas e os furos, se houver, de f (x) = x / (x ^ 4-x ^ 2)?

Responda:

#f (x) # tem assíntotas verticais # x = -1 #, # x = 0 # e # x = 1 #.

Tem asymptote horizontal # y = 0 #.

Não tem assíntotas ou buracos inclinados.

Explicação:

Dado:

#f (x) = x / (x ^ 4-x ^ 2) #

Eu gosto desta questão, uma vez que fornece um exemplo de uma função racional que leva um #0/0# valor que é uma assíntota em vez de um buraco …

# x / (x ^ 4-x ^ 2) = cor (vermelho) (cancelar (cor (preto) (x))) / (cor (vermelho) (cancelar (cor (preto) (x))) * x * (x ^ 2-1)) = 1 / (x (x-1) (x + 1)) #

Observe que, na forma simplificada, o denominador é #0# para # x = -1 #, # x = 0 # e # x = 1 #, com o numerador #1# sendo diferente de zero.

assim #f (x) # tem assíntotas verticais em cada um desses # x # valores.

Como #x -> + - oo # o tamanho do denominador cresce sem limite, enquanto o numerador fica com #1#. Então existe uma assíntota horizontal # y = 0 #

gráfico {x / (x ^ 4-x ^ 2) -10, 10, -5, 5}