Como integrar o sqrt (x ^ 2 + 4x) dx?

Responda:

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + c #

Explicação:

Como é mais fácil lidar com apenas um # x # sob uma raiz quadrada, completamos o quadrado:

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + k #

# x ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + k #

# k = -4 #

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 #

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx #

Agora precisamos fazer uma substituição trigonométrica. Eu vou usar funções trigonométricas hiperbólicas (porque integrais secantes geralmente não são muito boas). Queremos usar a seguinte identidade:

# cosh ^ 2 (teta) -1 = sinh ^ 2 (teta) #

Para fazer isso, queremos # (x + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (teta) #. Nós podemos resolver para # x # para obter a substituição de que precisamos:

# x + 2 = 2cosh (teta) #

# x = 2cosh (teta) -2 #

Para integrar em relação a # theta #, temos que multiplicar pela derivada de # x # em relação a # theta #:

# dx / (d theta) = 2sinh (teta) #

#int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int sqrt ((2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta) d theta = #

# = 2int sqrt (4cosh ^ 2 (theta) -4) * sinh (theta) d theta = 2int sqrt (4 (cosh ^ 2 (teta) -1)) * sinh (theta) d theta = #

# = 2 * sqrt (4) int sqrt (cosh ^ 2 (teta) -1) * sinh (theta) d theta = #

Agora podemos usar a identidade # cosh ^ 2 (teta) -1 = sinh ^ 2 (teta) #:

# = 4int sqrt (sinh ^ 2 (theta)) * sinh (theta) d theta = 4int sinh ^ 2 (theta) d theta #

Agora usamos a identidade:

# sinh ^ 2 (theta) = 1/2 (cosh (2theta) -1) #

# 4 / 2int cosh (2theta) -1 d theta = int 2cosh (2theta) d theta-2theta = #

Nós poderíamos fazer uma substituição explícita de # 2hs (2teta) #, mas é bastante óbvio que a resposta é #sinh (2theta) #:

# = sinh (2theta) -2theta + c #

Agora precisamos desfazer a substituição. Nós podemos resolver para # theta # para obter:

# theta = cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) #

Isto dá:

#sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #