Como integrar int x ^ lnx?

Responda:

#int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1 / 2) + c #

Explicação:

Começamos com uma substituição de u com # u = ln (x) #. Nós então dividimos pela derivada de #você# para integrar em relação a #você#:

# (du) / dx = 1 / x #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du #

Agora precisamos resolver para # x # em termos de #você#:

# u = ln (x) #

# x = e ^ u #

#int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du #

Você pode imaginar que isso não tem um anti-derivativo elementar, e você estaria certo. Podemos, no entanto, usar o formulário para a função de erro imaginário, #erfi (x) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

Para obter nossa integral neste formulário, podemos ter apenas uma variável ao quadrado no expoente de # e #, então precisamos completar o quadrado:

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2 + k #

# u ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + k #

# k = -1 / 4 #

# u ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int e ^ ((u + 1/2) ^ 2) du #

Agora podemos introduzir uma substituição de u com # t = u + 1/2 #. O derivado é apenas #1#, então não precisamos fazer nada especial para integrar em relação a # t #:

#e ^ (- 1/4) int e ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2 * erfi (t) + c #

Agora podemos desfazer todas as substituições para obter:

#e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (u + 1/2) + C = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1 / 2) + c #