Qual é a derivada de f (x) = csc ^ -1 (x)?

# dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Processo:

1.) #y = "arccsc" (x) #

Primeiro vamos reescrever a equação de uma maneira mais fácil de trabalhar.

Tome o cosecant de ambos os lados:

2.) #csc y = x #

Reescreva em termos de seno:

3.) # 1 / siny = x #

Resolva para # y #:

4.) # 1 = xsin y #

5.) # 1 / x = sin y #

6.) #y = arcsin (1 / x) #

Agora, pegar a derivada deveria ser mais fácil. Agora é só uma questão de regra de cadeia.

Nós sabemos isso # d / dx arcsin alfa = 1 / sqrt (1 - alfa ^ 2) # (há uma prova desta identidade localizada aqui)

Então, pegue a derivada da função externa, então multiplique pela derivada de # 1 / x #:

7.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

O derivado de # 1 / x # é o mesmo que o derivado de #x ^ (- 1) #:

8.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * (-x ^ (- 2)) #

Simplificando 8. nos dá:

9.) # dy / dx = -1 / (x ^ 2 * sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Para tornar a afirmação um pouco mais bonita, podemos trazer o quadrado de # x ^ 2 # dentro do radical, embora isso não seja necessário:

10.) # dy / dx = -1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))) #

Simplificando os rendimentos:

11.) # dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

E existe a nossa resposta. Lembre-se, os problemas de derivativos envolvendo funções trigonométricas inversas são, na maioria das vezes, um exercício em seu conhecimento de identidades trigonométricas. Use-os para dividir a função em um formato fácil de diferenciar.