Quais são as assíntotas e os furos, se houver, de f (x) = xsin (1 / x)?

Responda:

Consulte abaixo.

Explicação:

Bem, obviamente há um buraco no # x = 0 #, desde a divisão por #0# não é possível.

Nós podemos representar graficamente a função:

gráfico {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Não há outras assíntotas ou buracos.

Responda:

#f (x) # tem um buraco (descontinuidade removível) em # x = 0 #.

Também tem uma assíntota horizontal # y = 1 #.

Não tem assíntotas verticais ou inclinadas.

Explicação:

Dado:

#f (x) = x sin (1 / x) #

Vou usar algumas das propriedades de #sin (t) #, nomeadamente:

• #abs (sin t) <= 1 "" # para todos os valores reais de # t #.

• #lim_ (t-> 0) sin (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -sin (t) "" # para todos os valores de # t #.

Primeiro note que #f (x) # é uma função par:

#f (-x) = (-x) sen (1 / (- x)) = (-x) (- sen (1 / x)) = x sen (1 / x) = f (x) #

Nós achamos:

#abs (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sen (1 / x)) <= abs (x) #

Assim:

# 0 <= lim_ (x-> 0+) abs (x sen (1 / x)) <= lim_ (x-> 0+) abs (x) = 0 #

Como isso é #0#assim é #lim_ (x-> 0+) x sin (1 / x) #

Além disso, desde #f (x) # é par:

#lim_ (x-> 0 ^ -) x sen (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) x sin (1 / x) = 0 #

Observe que #f (0) # é indefinido, pois envolve a divisão por #0#, mas ambos os limites esquerdo e direito existem e concordam # x = 0 #, então tem um buraco (descontinuidade removível) lá.

Nós também encontramos:

#lim_ (x-> oo) x sen (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ +) sin (t) / t = 1 #

Similarmente:

#lim_ (x -> - oo) x sen (1 / x) = lim_ (t -> 0 ^ -) sin (t) / t = 1 #

assim #f (x) # tem uma assíntota horizontal # y = 1 #

gráfico {x sin (1 / x) -2,5, 2,5, -1,25, 1,25}