A Fração Funcional Continuada (FCF) da classe exponencial é definida por a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / (a ^ (x + b / a ^ (x + ...)))) , a> 0. Ao definir a = e = 2,718281828 .., como você prova que e_ (cf) (0,1; 1) = 1,880789470, quase?

Responda:

Veja a explicação …

Explicação:

Deixei #t = a_ (cf) (x; b) #

Então:

#t = a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …)))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x; b))) = a ^ (x + b / t) #

Em outras palavras, # t # é um ponto fixo do mapeamento:

#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #

Note que por si só # t # sendo um ponto fixo de #F (t) # não é suficiente para provar que #t = a_ (cf) (x; b) #. Pode haver pontos fixos instáveis e estáveis.

Por exemplo, #2016^(1/2016)# é um ponto fixo de #x -> x ^ x #, mas não é uma solução de # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …))) = 2016 # (Não há solução).

No entanto, vamos considerar #a = e #, #x = 0,1 #, #b = 1,0 # e #t = 1.880789470 #

Então:

#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0,1 + 1 / 1,880789470) #

# ~~ e ^ (0.1 + 0.5316916199) #

# = e ^ 0.6316916199 #

# ~~ 1.880789471 ~~ t #

Então esse valor de # t # está muito perto de um ponto fixo de #F_ (a, b, x) #

Para provar que é estável, considere a derivada próxima # t #.

# d / (ds) F_ (e, 1,0.1) (s) = d / (ds) e ^ (0,1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) #

Então nós encontramos:

#F '_ (e, 1.0.1) (t) = -1 / t ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~~ -0.5316916199 #

Como isso é negativo e de valor absoluto menor que #1#, o ponto fixo em # t # é estável.

Observe também que para qualquer valor Real diferente de zero # s # temos:

#F '_ (e, 1.0.1) (s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / s) <0 #

Isso é #F_ (e, 1.0.1) (s) # está diminuindo estritamente monotonicamente.

Conseqüentemente # t # é o único ponto fixo estável.

Responda:

Comportamento Contratante

Explicação:

Com #a = e # e #x = x_0 # a iteração segue como

#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # e também

#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #

Vamos investigar as condições para uma contração no operador de iteração.

Substruindo ambos os lados

#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}}) #

mas em primeira aproximação

# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} + d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1})) (y_k-y_ {k-1}) + O ((y_ {k-1}) ^ 2) #

ou

# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} aproximadamente -b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2 (y_k-y_ {k-1}) #

Para ter uma contração, precisamos

#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #

Isto é atingido se

#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #. Supor #b> 0 # e #k = 1 # temos.

# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #

Então, dado # x_0 # e # b # essa relação nos permite encontrar a iteração inicial sob o comportamento contrativo.