Dois cantos de um triângulo isósceles estão em (7, 5) e (3, 6). Se a área do triângulo é 6, quais são os comprimentos dos lados do triângulo?

Responda:

Há algumas maneiras de fazer isso; o caminho com o menor número de etapas é explicado abaixo.

A questão é ambígua sobre quais dois lados são do mesmo tamanho. Nesta explicação, vamos assumir que os dois lados de igual comprimento são os que ainda serão encontrados.

Explicação:

Um comprimento lateral podemos descobrir apenas a partir das coordenadas que recebemos.

# a = sqrt ((7-3) ^ 2 + (5-6) ^ 2) #

# a = sqrt (4 ^ 2 + (- 1) ^ 2) #

# a = sqrt (16 + 1) #

# a = sqrt17 #

Então podemos usar a fórmula para a área de um triângulo em termos de seus comprimentos laterais para descobrir # b # e # c #.

# A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

Onde # s = (a + b + c) / 2 # (Chamou o semiperímetro)

Desde a # a = sqrt (17) # é conhecido, e assumimos # b = c #, temos

# s = (sqrt17 + b + b) / 2 #

#color (vermelho) (s = sqrt17 / 2 + b) #

Substituindo isso na fórmula de área acima, bem como # A = 6 # e # a = sqrt17 #, Nós temos

# 6 = sqrt ((cor (vermelho) (sqrt (17) / 2 + b)) (cor (vermelho) (sqrt (17) / 2 + b) -sqrt17) (cor (vermelho) (sqrt (17) / 2 + b) -b) (cor (vermelho) (sqrt (17) / 2 + b) -b)) #

# 6 = sqrt ((sqrt (17) / 2 + b) (- sqrt (17) / 2 + b) (sqrt (17) / 2) (sqrt (17) / 2)) #

# 6 = (sqrt (17) / 2) sqrt ((b + sqrt (17) / 2) (b-sqrt (17) / 2)) #

# 12 / sqrt17 = sqrt (b ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2) #

# 144/17 = b ^ 2-17 / 4 #

# 144/17 + 17/4 = b ^ 2 #

# 576/68 + 289/68 = b ^ 2 #

# 865/68 = b ^ 2 #

# b = sqrt (865/68) = c #

Nossa solução é # a = sqrt (17), b = c = sqrt (865/68) #.

Nota de rodapé 1:

É possível ter um triângulo com dois lados de comprimento #sqrt (17) # e área # A = 6 # (isto é, ter # a = b = sqrt (17) # ao invés de # b = c #). Isso levará a uma solução diferente.

Nota de rodapé 2:

Nós também poderíamos ter resolvido essa questão encontrando as coordenadas do terceiro ponto. Isso teria envolvido:

a) encontrar o comprimento do lado conhecido #uma#

b) encontrar a inclinação # m # entre os dois pontos dados

c) encontrar o ponto médio # (x_1, y_1) # entre os dois pontos dados

d) encontrar a "altura" # h # deste triângulo usando # A = 1/2 ah #

e) encontrar a inclinação da altura usando #m_h = (- 1) / m #

f) usando tanto a fórmula do ponto de inclinação # m_h = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) # e a fórmula da altura # h = sqrt ((y_2-y_1) ^ 2 + (x_2-x_1) ^ 2) # resolver para uma das coordenadas do 3º ponto # (x_2, y_2) #

g) depois de combinar essas duas equações, simplificando os rendimentos

# x_2 = h / (sqrt (m_h ^ 2 + 1)) + x_1 #

h) conectando os valores conhecidos para # h #, # m_h #e # x_1 # para obter # x_2 #

i) usando uma das duas equações em (f) para encontrar # y_2 #

j) usando a fórmula de distância para encontrar os comprimentos laterais restantes (idênticos)

# b = c = sqrt ((x_2-3) ^ 2 + (y_2-6) ^ 2) = sqrt ((x_2-7) ^ 2 + (y_2-5) ^ 2) #

Você pode ver porque o primeiro método é mais fácil.