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Veja explicação para alguns exemplos …
Explicação:
Uma identidade polinomial que surge frequentemente em várias áreas é a diferença da identidade dos quadrados:
# a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b) #
Encontramos isso no contexto de racionalização de denominadores.
Considere este exemplo:
# 1 / (2 + sqrt (3)) #
# = (2-sqrt (3)) / ((2-sqrt (3)) (2 + sqrt (3))) #
# = (2-sqrt (3)) / (2 ^ 2 + cor (vermelho) (cancelar (cor (preto) ((2) sqrt (3)))) - cor (vermelho) (cancelar (cor (preto) (sqrt (3) (2)))) - (sqrt (3)) ^ 2) #
# = (2-sqrt (3)) / (2 ^ 2- (sqrt (3)) ^ 2) #
# = (2-sqrt (3)) / (4-3) #
# = 2-sqrt (3) #
Reconhecendo a diferença do padrão de quadrados, podemos perder o passo:
# = (2-sqrt (3)) / (2 ^ 2 + cor (vermelho) (cancelar (cor (preto) ((2) sqrt (3)))) - cor (vermelho) (cancelar (cor (preto) (sqrt (3) (2)))) - (sqrt (3)) ^ 2) #
Ou considere este exemplo com algumas funções aritméticas e trigonométricas complexas:
# 1 / (cos theta + i sin theta) #
# = (cos theta - i sin teta) / ((cos theta - i sin theta) (cos teta + i sin teta)) #
# = (cos theta - i sin theta) / (cos ^ 2 theta - i ^ 2 sin ^ 2 theta) #
# = (cos theta - i sin theta) / (cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) #
# = cos theta - i sin theta #
Para um exemplo de uso em Cálculo, consulte
No outro extremo da escala, essa identidade polinomial é às vezes útil para a aritmética mental. Por exemplo:
#97 * 103 = (100 - 3)(100 + 3) = 100^2 - 3^2 = 10000 - 9 = 9991#
Quando um polinômio é dividido por (x + 2), o restante é -19. Quando o mesmo polinômio é dividido por (x-1), o restante é 2, como você determina o restante quando o polinômio é dividido por (x + 2) (x-1)?
Sabemos que f (1) = 2 e f (-2) = - 19 do Teorema do Remanescente Agora encontre o resto do polinômio f (x) quando dividido por (x-1) (x + 2) O restante será de a forma Ax + B, porque é o resto após a divisão por uma quadrática. Podemos agora multiplicar os tempos do divisor pelo quociente Q ... f (x) = Q (x-1) (x + 2) + Ax + B A seguir, insira 1 e -2 para x ... f (1) = Q (1-1) (1 + 2) + A (1) + B = A + B = 2 f (-2) = Q (-2-1) (- 2 + 2) + A (-2) + B = -2A + B = -19 Resolvendo essas duas equações, obtemos A = 7 e B = -5 Restante = Ax + B = 7x-5
Quando o polinômio tem quatro termos e você não pode fatorar algo de todos os termos, reorganize o polinômio de modo que possa fatorar dois termos de cada vez. Em seguida, escreva os dois binômios com os quais você acaba. (4ab + 8b) - (3a + 6)?
(a + 2) (4b-3) "o primeiro passo é remover os colchetes" rArr (4ab + 8b) cor (vermelho) (- 1) (3a + 6) = 4ab + 8b-3a-6 "agora fatorizar os termos "agrupando-os" cor (vermelho) (4b) (a + 2) cor (vermelho) (- 3) (a + 2) "tirar" (a + 2) "como um fator comum de cada grupo "= (a + 2) (cor (vermelho) (4b-3)) rArr (4ab + 8b) - (3a + 6) = (a + 2) (4b-3) cor (azul)" Como verificação " (a + 2) (4b-3) larr "expandir usando FOIL" = 4ab-3a + 8b-6larr "comparar com expansão acima"
Quando o polinômio tem quatro termos e você não pode fatorar algo de todos os termos, reorganize o polinômio de modo que possa fatorar dois termos de cada vez. Em seguida, escreva os dois binômios que você acaba. (6y ^ 2-4y) + (3y-2)?
(3y-2) (2y + 1) Vamos começar com a expressão: (6y ^ 2-4y) + (3y-2) Note que eu posso fatorar 2y do termo esquerdo e isso deixará um 3y-2 dentro do bracket: 2y (3y-2) + (3y-2) Lembre-se que eu posso multiplicar qualquer coisa por 1 e obter a mesma coisa. E então eu posso dizer que há um 1 na frente do termo certo: 2y (3y-2) +1 (3y-2) O que eu posso fazer agora é fatorar 3y-2 dos termos direito e esquerdo: (3y -2) (2y + 1) E agora a expressão é fatorada!