Dois cantos de um triângulo isósceles estão em (1, 6) e (2, 9). Se a área do triângulo é 36, quais são os comprimentos dos lados do triângulo?

Responda:

#sqrt (10), sqrt (520.9), sqrt (520.9) ~ = 3.162,22.823,22.823 #

Explicação:

O comprimento do lado dado é

# s = sqrt ((2-1) ^ 2 + (9-6) ^ 2) = sqrt (1 + 9) = sqrt (10) ~ = 3,162 #

Da fórmula da área do triângulo:

# S = (b * h) / 2 # => # 36 = (sqrt (10) * h) / 2 # => # h = 72 / sqrt (10) ~ = 22,768 #

Como a figura é um triângulo isósceles, poderíamos ter Caso 1, onde a base é o lado singular, ilustrado pela Fig. (a) abaixo

Ou poderíamos ter Caso 2, onde a base é um dos lados iguais, ilustrada pelas Figs. (b) e (c) abaixo

Para este problema, o Caso 1 sempre se aplica, porque:

#tan (alfa / 2) = (a / 2) / h # => # h = (1/2) a / tan (alfa / 2) #

Mas há uma condição para que os apllies do Case 2:

#sin (beta) = h / b # => # h = bsin beta #

Ou # h = bsin gamma #

Desde o maior valor de #sin beta # ou #sin gama # é #1#, o maior valor de # h #, no caso 2, deve ser # b #.

No problema atual, h é mais longo que o lado ao qual é perpendicular, portanto, para este problema, somente o Caso 1 se aplica.

Solução considerando Caso 1 (Fig. (A))

# b ^ 2 = h ^ 2 + (a / 2) ^ 2 #

# b ^ 2 = (72 / sqrt (10)) ^ 2+ (sqrt (10) / 2) ^ 2 #

# b ^ 2 = 5184/10 + 10/4 = (5184 + 25) / 10 = 5209/10 # => # b = sqrt (520.9) ~ = 22.823 #