Qual é a integral de e ^ (x ^ 3)?

Você não pode expressar essa integral em termos de funções elementares.

Dependendo do que você precisa para a integração, você pode escolher uma forma de integração ou outra.

Integração via série de energia

Lembre-se de que # e ^ x # é analítico sobre #mathbb {R} #, assim #forall x em mathbb {R} # a seguinte igualdade mantém

# e ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / {n!} #

e isso significa que

# e ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n} } / {n!} #

Agora você pode integrar:

#int e ^ {x ^ 3} dx = int (sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n!}) dx = c + sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n + 1}} / {(3n + 1) n!} #

Integração através da função Gamma Incompleta

Primeiro, substituto # t = -x ^ 3 #:

#int e ^ {x ^ 3} dx = - 1/3 int e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

A função # e ^ {x ^ 3} # é contínuo. Isso significa que suas funções primitivas são #F: mathbb {R} para mathbb {R} # de tal modo que

#F (y) = c + int_0 ^ e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ {- y ^ 3} e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

e isso é bem definido porque a função #f (t) = e ^ {- t} t ^ {- 2/3} # é tal que para #t para 0 # ele segura #f (t) ~~ t ^ {- 2/3} #, para que a integral inadequada # int_0 ^ s f (t) dt # é finito (eu chamo # s = -y ^ 3 #).

Então você tem que

#int e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ s f (t) dt #

Observe que #t ^ {- 2/3} <1 hArr t> 1 #. Isso significa que para #t para + infty # nós entendemos isso #f (t) = e ^ {- t} * t ^ {- 2/3} <e ^ {- t} * 1 = e ^ {- t} #, de modo a # | int_1 ^ {+ infty} f (t) dt | <| int_1 ^ {+ infty} e ^ {- t} dt | = e #. Então, seguindo integral imprópria de #f (t) # é finito:

# c '= int_0 ^ {+ infty} f (t) dt = int_0 ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt = Gama (1/3) #.

Nós podemos escrever:

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 (int_0 ^ {+ infty} f (t) dt -int_s ^ {+ infty} f (t) dt) #

isso é

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 c '+1/3 int_s ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt #.

No final, conseguimos

#int e ^ {x ^ 3} dx = C + 1/3 Gama (1/3, t) = C + 1/3 Gama (1/3, -x ^ 3) #