O que é cos [sin ^ (- 1) (- 1/2) + cos ^ (- 1) (5/13)]?

Responda:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Explicação:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) #

# = cos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = cos cos ^ (- 1) (5/13) -cos ^ (- 1) (sqrt3 / 2) #

Agora, usando #cos ^ (- 1) x-cos ^ (- 1) y = xy + sqrt ((1-x ^ 2) * (1-y ^ 2)) #, Nós temos,

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = cos (cos ^ (- 1) (5/13 * sqrt3 / 2 + sqrt ((1- (5/13) ^ 2) * (1- (sqrt (3) / 2) ^ 2)))) #

# = (5sqrt3) / 26 + 12/26 #

# = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Responda:

Pela fórmula do ângulo de soma que é

# cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sen (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

# = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

# = pm {5 sqrt {3}} / 6 pm 6/13 #

Explicação:

#x = cos (arcsin (1/2) + arccos (5/13)) #

Essas questões são confusas o suficiente com a notação funky de função inversa. O problema real com questões como essa é que geralmente é melhor tratar as funções inversas como multivalorado, o que pode significar que a expressão também possui vários valores.

Podemos também olhar para o valor de # x # para o valor principal das funções inversas, mas vou deixar isso para os outros.

De qualquer forma, este é o cosseno da soma de dois ângulos, e isso significa que empregamos a fórmula do ângulo de soma:

#cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b #

# x = cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sen (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

Cosseno de cosseno inverso e seno de seno inverso são fáceis. O cosseno do seno inverso e do seno do cosseno inverso também são diretos, mas é aí que entra a questão de valores múltiplos.

Geralmente, haverá dois ângulos não coterminais que compartilham um dado cosseno, negações um do outro, cujos senos serão negações um do outro. Geralmente haverá dois ângulos não coterminais que compartilham um dado seno, ângulos suplementares, que terão cossenos que são negações um do outro. Então, as duas maneiras com um #PM#. Nossa equação terá dois #PM# e é importante notar que são independentes, desvinculados.

Vamos levar #arcsin (-1/2) # primeiro. Este é obviamente um dos clichês dos trigonos, # -30 ^ circ # ou # -150 ^ circ #. Os cossenos serão # + sqrt {3} / 2 # e # - sqrt {3} / 2 # respectivamente.

Nós realmente não precisamos considerar o ângulo. Podemos pensar no triângulo retângulo com o oposto 1 e a hipotenusa 2 e chegar com o adjacente # sqrt {3} # e cosseno # pm sqrt {3} / 2 #. Ou se é muito pensar, desde # cos ^ 2theta + sin ^ 2 theta = 1 # então #cos (theta) = pm sqrt {1 - sin ^ 2 theta} # que mecanicamente nos permite dizer:

# cos (arcsin (-1/2)) = pm sqrt {1 - (-1/2) ^ 2} = pm sqrt {3} / 2 #

Similarmente, #5,12,13# é Triádico Pitagórico empregado aqui assim

#sin (arccos (5/3)) = pm sqrt {1 - (5/13) ^ 2} = pm 12/13 #

# x = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

#x = pm {5 sqrt {3}} / 6 pm 6/13 #