O que é o ortocentro de um triângulo com cantos em (4, 7), (9, 5) e (5, 6)?

Responda:

#color (azul) ((5/3, -7 / 3) #

Explicação:

O ortocentro é o ponto onde as alturas estendidas de um triângulo se encontram. Isso estará dentro do triângulo se o triângulo for agudo, fora do triângulo, se o triângulo for obtuso. No caso do triângulo retângulo correto, ele estará no vértice do ângulo reto. (Os dois lados são cada altitudes).

Geralmente é mais fácil fazer um esboço dos pontos para que você saiba onde está.

Deixei # A = (4,7), B = (9,5), C = (5,6) #

Como as altitudes passam por um vértice e são perpendiculares ao lado oposto, precisamos encontrar as equações dessas linhas. Será óbvio, a partir da definição, que só precisamos encontrar duas dessas linhas. Estes irão definir um ponto único. Não é importante que você escolha.

Usarei:

Linha # AB # passando através # C #

Linha # AC # passando através # B #

Para # AB #

Primeiro, encontre o gradiente desse segmento de linha:

# m_1 = (6-7) / (5-4) = - 1 #

Uma linha perpendicular a isto terá um gradiente que é o recíproco negativo disso:

# m_2 = -1 / m_1 = -1 / (- 1) = 1 #

Isso passa por # C #. Usando a forma de declive de pontos de uma linha:

# y-5 = 1 (x-9) #

# y = x-4 1 #

Para # AC #

# m_1 = (5-7) / (9-4) = - 2/5 #

# m_2 = -1 / (- 2/5) = 5/2 #

Passando através # B #

# y-6 = 5/2 (x-5) #

# y = 5 / 2x-13/2 2 #

A interseção de #1# e #2# será o ortocentro:

Resolvendo simultaneamente:

# 5 / 2x-13/2-x + 4 = 0 => x = 5/3 #

Substituindo em #1#:

# y = 5 / 3-4 = -7 / 3 #

Orthocenter:

#(5/3,-7/3)#

Observe que o ortocentro está fora do triângulo porque é obtuso. As linhas de altitude passando por # C # e #UMA# tem que ser produzido em D e E para permitir isso.