O que é o ortocentro de um triângulo com cantos em (9, 7), (4, 4) e (8, 6) #?

Responda:

Ver abaixo.

Explicação:

Vamos chamar os vértices # A = (4,4) #, # B = (9,7) # e # C = (8,6) #.

Precisamos encontrar duas equações perpendiculares a dois lados e passar por dois dos vértices. Podemos encontrar a inclinação de dois dos lados e, consequentemente, a inclinação das duas linhas perpendiculares.

Inclinação de AB:

#(7-4)/(9-4)=3/5#

Inclinação perpendicular a isto:

#-5/3#

Isso tem que passar pelo vértice C, então a equação da linha é:

# y-6 = -5 / 3 (x-8) #, # 3y = -5x + 58 # 1

Inclinação de BC:

#(6-7)/(8-9)=1#

Inclinação perpendicular a isto:

#-1#

Isso tem que passar pelo vértice A, então a equação da linha é:

# y-4 = - (x-4) #, # y = -x + 8 # 2

Onde 1 e 2 se cruzam é o ortocentro.

Resolvendo 1 e 2 simultaneamente:

# 3 (-x + 8) = - 5x + 58 #

# -3x + 24 = -5x + 58 #

# -3x + 24 = 5x + 58 => x = 34/2 = 17 #

Usando 2:

# y = -17 + 8 = -9 #

Orthocenter:

#(17, -9)#

Como o triângulo é obtuso, o ortocentro fica fora do triângulo. isso pode ser visto se você estender as linhas de altitude até que elas se cruzem.

Responda:

Orthocenter

# x_0 = 17, y_0 = -9 #

Circuncentro

# x_0 = 2, y_0 = 13 #

Explicação:

Orthocenter

Dado # p_1, p_2, p_3 # e

#vec v_ (12), vec v_ (13), vec v_ (23) # de tal modo que

# << vec v_ (12), p_2-p_1 >> = << vec v_ (13), p_3-p_1 >> = << vec v_ (23), p_3-p_2 >> = 0 #

Esses vetores são facilmente obtidos, por exemplo

# p_1 = (x_1, y_1) # e # p_2 = (x_2, y_2) # e depois

#vec v_ (12) = (y_1-y_2, - (x_1-x_2)) #

Agora temos

# L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23) #

# L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

# L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12) #

Essas três linhas se cruzam no ortocentro do triângulo

Escolhendo # L_1, L_2 # temos

# (x_0, y_0) = "arg" (L_1 nn L_2) # ou

# p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

dando as equações

# {(<< vec v_ (13), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (13) >>), (<< vec v_ (23), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (23), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (23) >>):} #

Agora resolvendo por # lambda_1, lambda_2 # temos

# lambda_1 = -4, lambda_2 = -13 #

e depois

# p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17, -9) #

Circuncentro

A equação da circunferência é dada por

# C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2y y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0 #

agora se # {p_1, p_2, p_3} em c # temos

# {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_2 x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0):}

subtraindo o primeiro do segundo

# x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_2-x_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0 #

subtraindo o primeiro do terceiro

# x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_3-x_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0 #

dando o sistema de equações

# ((x_2-x_1, y_2-y_1), (x_3-x_1, y_3-y_1)) ((x_0), (y_0)) = 1/2 ((x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2)), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2))) #

Agora substituindo os valores dados, chegamos a

# x_0 = 2, y_0 = 13 #

Anexado um gráfico mostrando o ortocentro (vermelho) e o circumcentercercenter (azul).