Quais são os extremos locais de f (x) = sinx em [0,2pi]?

Responda:

No # x = pi / 2 # #f '' (x) = - 1 # nós temos um máximo local e em # x = 3pi / 2 #, #f '' (x) = 1 # nós temos um mínimo local.

Explicação:

Um máximo é um ponto alto para o qual uma função sobe e depois cai novamente. Como tal, a inclinação da tangente ou o valor da derivada nesse ponto será zero.

Além disso, como as tangentes à esquerda dos máximos vão inclinar-se para cima, depois aplanar e depois inclinar-se para baixo, a inclinação da tangente será continuamente decrescente, isto é, o valor da segunda derivada seria negativo.

Um mínimo, por outro lado, é um ponto baixo no qual uma função cai e depois aumenta novamente. Como tal, a tangente ou o valor da derivada em mínimos também será zero.

Mas, como as tangentes à esquerda dos mínimos serão inclinadas para baixo, então achatando-se e depois inclinando-se para cima, a inclinação da tangente aumentará continuamente ou o valor da segunda derivada será positivo.

Contudo, estes máximos e mínimos podem ser universais, isto é, máximos ou mínimos para toda a gama ou podem estar localizados, isto é, máximos ou mínimos numa gama limitada.

Vamos ver isso com referência à função descrita na questão e para isso vamos primeiro diferenciar #f (x) = sinx #.

#f '(x) = cosx # e em # 0,2pi # isto é #0# a # x = pi / 2 # e # x = (3pi) / 2 #.

#f '' (x) = - sinx # e enquanto a # x = pi / 2 # #f '' (x) = - 1 # o que significa que temos um máximo local, em # x = 3pi / 2 #, #f '' (x) = 1 # o que significa que temos um mínimo local.

graph {senx -1, 7, -1,5, 1,5}