Dois cantos de um triângulo isósceles estão em (8, 3) e (5, 9). Se a área do triângulo é 4, quais são os comprimentos dos lados do triângulo?

Responda:

Veja um processo de solução abaixo:

Explicação:

Primeiro, precisamos encontrar o comprimento do segmento de linha que compõe a base do triângulo isósceles. A fórmula para calcular a distância entre dois pontos é:

#d = sqrt ((cor (vermelho) (x_2) - cor (azul) (x_1)) ^ 2 + (cor (vermelho) (y_2) - cor (azul) (y_1)) ^ 2) #

Substituir os valores dos pontos no problema fornece:

#d = sqrt ((cor (vermelho) (5) - cor (azul) (8)) ^ 2 + (cor (vermelho) (9) - cor (azul) (3)) ^ 2) #

#d = sqrt ((- 3) ^ 2 + 6 ^ 2) #

#d = sqrt (9 + 36) #

#d = sqrt (45) #

#d = sqrt (9 * 5) #

#d = sqrt (9) sqrt (5) #

#d = 3sqrt (5) #

A fórmula para a área de um triângulo é:

# A = (bh_b) / 2 #

Substituindo a área do problema e o comprimento da base que calculamos e resolvemos para # h_b # dá:

# 4 = (3sqrt (5) h_b) / 2 #

# 2 / (3sqrt (5)) xx 4 = 2 / (3sqrt (5)) xx (3sqrt (5) h_b) / 2 #

# 8 / (3sqrt (5)) = cancelar (2 / (3sqrt (5))) xx cancelar ((3sqrt (5)) / 2) h_b #

#h_b = 8 / (3sqrt (5)) #

De um triângulo isósceles, conhecemos a base e # h_b # estão em ângulos retos. Portanto, podemos usar o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento dos lados.

# c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# c # é o que estamos resolvendo.

#uma# é o lado do triângulo formado por #1/2# a base ou:

# 1/2 xx 3sqrt (5) = (3sqrt (5)) / 2 #

# b # é #h_b = 8 / (3sqrt (5)) #

Substituindo e resolvendo por # c # dá:

# c ^ 2 = ((3sqrt (5)) / 2) ^ 2 + (8 / (3sqrt (5))) ^ 2 #

# c ^ 2 = (9 * 5) / 4 + 64 / (9 * 5) #

# c ^ 2 = 45/4 + 64/45 #

# c ^ 2 = (45/45 xx 45/4) + (4/4 xx 64/45) #

# c ^ 2 = 2025/180 + 256/180 #

# c ^ 2 = 2281/180 #

#sqrt (c ^ 2) = sqrt (2281/180) #

#c = sqrt (2281) / sqrt (180) #

#c = sqrt (2281) / sqrt (36 * 5) #

#c = sqrt (2281) / (sqrt (36) sqrt (5)) #

#c = sqrt (2281) / (6sqrt (5)) #