O que é int (cos (x)) ^ 4 dx?

Responda:

#int (cos (x)) ^ 4 dx = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #

Explicação:

Embora inicialmente pareça ser uma parte realmente chata, podemos realmente explorar as identidades trigonométricas para dividir essa integral em uma série de integrais simples com as quais estamos mais familiarizados.

A identidade que iremos usar é:

# cos ^ 2 (x) = (1 + cos (2x)) / 2 #

Isso nos permite manipular nossa equação como tal:

#int cos ^ 4 (x) dx = int (1 + cos (2x)) / 2 * (1 + cos (2x)) / 2dx #

# = 1/4 int (1 + cos (2x)) (1 + cos (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

Agora podemos aplicar nossa regra novamente para eliminar o cos ^ 2 (2x) dentro do parentético:

# 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) dx #

# = 1 / 4int (1+ 2cos (2x) + (1 + cos (4x)) / 2) dx #

# = 1 / 8int (2+ 4cos (2x) + 1 + cos (4x)) dx #

# = 1 / 8int (3+ 4cos (2x) + cos (4x)) dx #

Agora nós realmente temos um problema de integração bastante simples, podemos distribuir a integral em nosso parênteses para que:

# = 1/8 int3dx + 4intcos (2x) dx + intcos (4x) dx #

Cada uma dessas integrais trigonométricas é tratada com a regra simples de que #int cos (ax) dx = 1 / a sin (axe) #.

Portanto, # = 1/8 3x + 2 sin (2x) + 1/4 sin (4x) #

# = 1/32 12x + 8sin (2x) + sin (4x) #