Como a substituição trigonométrica é diferente da substituição de u?

Responda:

Geralmente, a substituição trigonométrica é usada para integrais da forma # x ^ 2 + -a ^ 2 # ou #sqrt (x ^ 2 + -a ^ 2) #, enquanto #você#-substituição é usada quando uma função e sua derivada aparecem na integral.

Explicação:

Eu acho ambos os tipos de substituições muito fascinantes por causa do raciocínio por trás deles. Considere, primeiro, a substituição trigonométrica. Isso decorre do Teorema de Pitágoras e das Identidades Pitagóricas, provavelmente os dois conceitos mais importantes da trigonometria. Nós usamos isso quando temos algo como:

# x ^ 2 + a ^ 2 -> # Onde #uma# é constante

#sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -> # novamente assumindo #uma# é constante

Podemos ver que esses dois se parecem muito com # a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #, que é o teorema de Pitágoras. Relaciona os dois lados de um triângulo retângulo com a hipotenusa do triângulo. Se tirarmos isso, podemos ver que sim, # x ^ 2 + a ^ 2 # pode ser representado com um triângulo:

A imagem é muito útil, porque nos diz # tantheta = x / a #ou # atantheta = x #; isso forma a base da substituição trigonométrica. Além disso (e é aí que fica incrível), quando você substitui # x = tantheta # para dentro # x ^ 2 + a ^ 2 #, você acaba com uma identidade pitagórica, neste caso # tan ^ 2theta + 1 = sec ^ 2theta #. Você pode então fazer alguma simplificação para # seg ^ 2theta # se você precisar, e a integral é fácil por aí. O mesmo vale para os casos # x ^ 2-a ^ 2 #, # a ^ 2-x ^ 2 #, #sqrt (x ^ 2-a ^ 2) #e #sqrt (a ^ 2-x ^ 2) #.

Você pode usar sub trig. para uma boa quantidade de problemas, mas você pode usar #você#-substitui ainda mais. Nós usamos essa técnica quando temos algo como # intlnx / xdx #. Se estamos atentos, vemos que temos duas funções - # lnx # e # 1 / x #. E se nos lembrarmos de nossos derivados básicos, sabemos # d / dxlnx = 1 / x # para #x> 0 # (ou # d / dxlnabs (x) = 1 / x # para #x! = 0 #). Então a ideia é dizer vamos # u = lnx #; então # (du) / dx = 1 / x # e # du = dx / x #. O problema, depois de fazer essas substituições, simplifica para # intudu # - uma integral muito mais fácil que antes.

Embora essas duas técnicas possam ser diferentes, ambas servem ao mesmo propósito: reduzir uma integral a uma forma mais simples, para que possamos usar técnicas básicas. Tenho certeza de que minha explicação não é suficiente para incluir todos os detalhes específicos sobre essas substituições, então convido outras pessoas a contribuir.