Qual é a derivada de f (x) = ln (sen ^ -1 (x))?

Um comentário lateral para começar: a notação # sin ^ -1 # para a função inversa do seno (mais explicitamente, a função inversa da restrição de seno para # - pi / 2, pi / 2 #) é generalizada, mas enganosa. Na verdade, a convenção padrão para expoentes ao usar funções trigonométricas (por exemplo, # sin ^ 2 x: = (sin x) ^ 2 # sugere que #sin ^ (- 1) x # é # (sin x) ^ (- 1) = 1 / (sin x) #. Claro que não é, mas a notação é muito enganosa. A notação alternativa (e comumente usada) #arcsin x # é muito melhor.

Agora para a derivada. Este é um composto, por isso vamos usar a regra da cadeia. Nós vamos precisar # (ln x) '= 1 / x # (veja cálculo de logaritmos) e # (arcsin x) '= 1 / sqrt (1-x ^ 2) # (veja o cálculo das funções trigonométricas inversas).

Usando a regra da cadeia:

# (ln (arcsin x)) '= 1 / arcsin x vezes (arcsin x)' = 1 / (arcsin x sqrt (1-x ^ 2)) #.

Qual é a primeira derivada e segunda derivada de 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3)?

(dy) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(a primeira derivada)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2 ) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) "(a segunda derivada)" y = 4x ^ (1/3) + 2x ^ (4/3) (dy) / (dx) = 1/3 * 4 * x ^ ((1 / 3-1)) + 4/3 * 2x ^ ((4 / 3-1)) (d) / (dx) = 4/3 * x ^ (- 2/3) + 8/3 * x ^ (1/3) "(a primeira derivada)" (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 2/3 * 4/3 * x ^ ((- 2 / 3-1)) + 8/3 * 1/3 * x ^ ((1 / 3-1)) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = - 8/9 * x ^ ((- 5/3)) + 8/9 * x ^ ((- 2/3) (d ^ 2 y) / (dt ^ 2) = 8/9 * x ^ (- 2/3) (- x ^ -1 + 1) "(a segunda derivada)"

Qual é a segunda derivada de x / (x-1) e a primeira derivada de 2 / x?

Questão 1 Se f (x) = (g (x)) / (h (x)) então pela Regra do Quociente f '(x) = (g' (x) * h (x) - g (x) * h '(x)) / ((g (x)) ^ 2) Então se f (x) = x / (x-1) então a primeira derivada f' (x) = ((1) (x-1) - (x) (1)) / x ^ 2 = - 1 / x ^ 2 = - x ^ (- 2) e a segunda derivada é f '' (x) = 2x ^ -3 Pergunta 2 Se f (x) = 2 / x isso pode ser reescrito como f (x) = 2x ^ -1 e usando procedimentos padrão para obter a derivada f '(x) = -2x ^ -2 ou, se você preferir f' (x) = - 2 / x ^ 2

Prove que Berço 4x (sen 5 x + sen 3 x) = Berço x (sen 5 x - sen 3 x)?

# sen a + sen b = 2 sen ((a + b) / 2) cos ((ab) / 2) sen a - sen b = 2 sen ((ab) / 2) cos ((a + b) / 2 ) Lado direito: berço x (sen 5x - sen 3x) = berço x cdot 2 sen ((5x-3x) / 2) cos ((5x + 3x) / 2) = cos x / sin x cdot 2 sin x cos 4x = 2 cos x cos 4x Lado esquerdo: cot (4x) (sen 5x + sin 3x) = cot (4x) cdot 2 sen ((5x + 3x) / 2) cos ((5x-3x) / 2) = {cos 4x} / {sen 4x} cdot 2 sen 4 x cos x = 2 cos x cos 4 x Eles são iguais ao quad sqrt #