Qual é o logaritmo de um número negativo?

Os logaritmos dos números negativos não são definidos nos números reais, da mesma maneira que as raízes quadradas de números negativos não são definidas nos números reais. Se espera-se que você encontre o log de um número negativo, uma resposta "indefinida" é suficiente na maioria dos casos.

isto é possível avaliar um, no entanto, a resposta será um número complexo. (um número da forma #a + bi #, Onde #i = sqrt (-1) #)

Se você estiver familiarizado com números complexos e se sentir à vontade para trabalhar com eles, continue lendo.

Primeiro, vamos começar com um caso geral:

#log_b (-x) =? #

Usaremos a regra de mudança de base e converteremos em logaritmos naturais, para facilitar as coisas mais tarde:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

Observe que #ln (-x) # é a mesma coisa que #ln (-1 * x) #. Podemos explorar a propriedade de adição dos logaritmos e separar essa parte em dois logs separados:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

Agora o único problema é descobrir o que #ln (-1) # é. Pode parecer algo impossível de avaliar no início, mas existe uma equação famosa, conhecida como Identidade de Euler, que pode nos ajudar.

A identidade de Euler afirma:

# e ^ (ipi) = -1 #

Este resultado vem de expansões em séries de potência de seno e cosseno. (Eu não vou explicar isso em profundidade, mas se você estiver interessado, há uma boa página aqui que explica um pouco mais)

Por enquanto, vamos simplesmente pegar o log natural de ambos os lados da Identidade de Euler:

#ln e ^ (ipi) = ln (-1) #

Simplificado:

#ipi = ln (-1) #

Então, agora que sabemos o que #ln (-1) # é, podemos substituir de volta em nossa equação:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

Agora você tem uma fórmula para encontrar registros de números negativos. Então, se queremos avaliar algo como # log_2 10 #, podemos simplesmente inserir alguns valores:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #