Qual é a derivada de f (x) = (log_6 (x)) ^ 2?

Método 1:

Vamos começar usando a regra de mudança de base para reescrever #f (x) # equivalentemente como:

#f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 #

Nós sabemos isso # d / dx ln x = 1 / x #.

(se essa identidade parecer estranha, confira alguns dos vídeos desta página para mais explicações)

Então, vamos aplicar a regra da cadeia:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx ln x / ln 6 #

O derivado de #ln x / 6 # será # 1 / (xln6) #:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6) #

Simplificando nos dá:

#f '(x) = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) #

Método 2:

A primeira coisa a notar é que só # d / dx ln (x) = 1 / x # Onde #ln = log_e #. Em outras palavras, somente se a base é # e #.

Devemos, portanto, converter o # log_6 # para uma expressão tendo apenas #log_e = ln #. Isso fazemos usando o fato

#log_a b = (log_ {n} b) / (log_ {n} a) = (ln b) / ln a # quando # n = e #

Agora deixe #z = (ln x / ln 6) # de modo a #f (x) = z ^ 2 #

Assim sendo, #f '(x) = d / dx z ^ 2 = (d / dz z ^ 2) (dz / dx) = 2z d / dx (ln x / ln 6) #

# = (2z) / (ln 6) d / dx ln x = (2z) / (ln 6) 1 / x #

# = (2 / ln 6) (ln x / ln 6) (1 / x) = (2 ln x) / (x * (ln 6) ^ 2) #