Como você expressa cos (pi / 3) * sin ((5 pi) / 8) sem usar produtos de funções trigonométricas?

Responda:

Pode ser "trapaça", mas eu apenas substituiria #1/2# para #cos (pi / 3) #.

Explicação:

Você provavelmente deveria usar a identidade

#cos a sin b = (1/2) (sin (a + b) -sin (a-b)) #.

Colocar em # a = pi / 3 = {8 pi} / 24, b = {5 pi} / 8 = {15 pi} / 24 #.

Então

#cos (pi / 3) sin ({5 * pi} / 8) = (1/2) (sin ({23 * pi} / 24) -sin ({- 7 * pi} / 24)) #

# = (1/2) (sin ({ pi} / 24) + sin ({7 * pi} / 24)) #

onde na última linha usamos #sin (pi-x) = sin (x) # e #sin (-x) = - sin (x) #.

Como você pode ver, isso é complicado comparado com apenas colocar #cos (pi / 3) = 1/2 #. A soma trigonométrica do produto e as relações de diferença de produto são mais úteis quando você não pode avaliar nenhum fator no produto.

Responda:

# - (1/2) cos (pi / 8) #

Explicação:

#P = cos (pi / 3).sin ((5pi) / 8) #

Tabela Trig -> #cos (pi / 3) = 1/2 #

Círculo unitário e propriedade dos arcos complementares ->

#sina ((5pi) / 8) = sin (pi / 8 + (4pi) / 8) = sin (pi / 8 + pi / 2) = #

# = - cos (pi / 8). #

P pode ser expresso como:

#P = - (1/2) cos (pi / 8) #

NOTA. Nós podemos avaliar #cos (pi / 8) # usando a identidade trigonométrica:

# 1 + cos (pi / 4) = 2cos ^ 2 (pi / 8) #