Prove que as curvas x = y ^ 2 e xy = k cortam em ângulos retos se 8k ^ 2 = 1?

Responda:

#-1#

Explicação:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

as duas curvas são

#x = y ^ 2 #

e

#x = sqrt (1/8) / y ou x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

para a curva #x = y ^ 2 #, a derivada em relação a # y # é # 2y #.

para a curva #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #, a derivada em relação a # y # é # -sqrt (1/8) y ^ -2 #.

o ponto em que as duas curvas se encontram é quando # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

Desde a #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

o ponto em que as curvas se encontram é # (1/2, sqrt (1/2)) #

quando #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

o gradiente da tangente à curva #x = y ^ 2 # é # 2sqrt (1/2) ou 2 / (sqrt2) #.

quando #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

o gradiente da tangente à curva #xy = sqrt (1/8) # é # -2sqrt (1/8) ou -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

Nós procuramos uma condição de #k # de tal forma que as curvas # x = y ^ 2 # e # xy = k # "cortar em ângulos retos". Matematicamente isso significa que as curvas devem ser ortogonais, o que, por sua vez, significa que em todos os pontos as tangentes às curvas em qualquer determinado ponto são perpendiculares.

Se examinarmos a família de curvas para vários valores de #k # Nós temos:

Notamos imediatamente que estamos procurando por um único ponto em que a tangente é perpendicular, de modo que, em geral, as curvas não são ortogonais em todos os pontos.

Primeiro vamos encontrar o solteiro coordenada, # P #, do ponto de intersecção, que é a solução simultânea de:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

Substituindo Eq A em B, obtemos:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = raiz (3) (k) #

E assim estabelecemos a coordenada de interseção:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

Também precisamos dos gradientes das tangentes nessa coordenada. Para a primeira curva:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

Então o gradiente da tangente # m_1 #, para a primeira curva em # P # é:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) #

Da mesma forma, para a segunda curva:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

Então o gradiente da tangente # m_2 #, para a segunda curva em # P # é:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# = -k ^ (- 1/3) #

Se estas duas tangentes são perpendiculares, então precisamos que:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. k ^ (-2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

Levando ao resultado dado:

# 8k ^ 2 = 1 # QED

E com esse valor de #k #