Quais são as soluções aproximadas de 5x ^ 2 - 7x = 1 arredondadas para o centésimo mais próximo?

Subtraindo #1# de ambos os lados nós temos:

# 5x ^ 2-7x-1 = 0 #

Isso é da forma # ax ^ 2 + bx + c = 0 #com #a = 5 #, #b = -7 # e #c = -1 #.

A fórmula geral para raízes de tal quadrático nos dá:

#x = (-b + - sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (7 + -sqrt ((- 7) ^ 2- (4xx5xx-1))) / (2xx5) #

# = (7 + -sqrt (69)) / 10 #

# = 0,7 + - sqrt (69) / 10 #

O que é uma boa aproximação para #sqrt (69) #?

Nós poderíamos colocá-lo em uma calculadora, mas vamos fazer isso manualmente usando Newton-Raphson:

#8^2 = 64#, assim #8# Parece uma boa primeira aproximação.

Em seguida, faça uma iteração usando a fórmula:

#a_ (n + 1) = (a_n ^ 2 + 69) / (2a_n) #

Deixei # a_0 = 8 #

# a_1 = (64 + 69) / 16 = 133/16 = 8,3125 #

Isso é quase certamente bom o suficiente para a precisão solicitada.

assim #sqrt (69) / 10 ~ = 8,3 / 10 = 0,83 #

#x ~ = 0,7 + - 0,83 #

Isso é #x ~ = 1.53 # ou #x ~ = -0.13 #

Reescrever # 5x ^ 2-7x = 1 # na forma padrão de # ax ^ 2 + bx + c = 0 #

dando

# 5x ^ 2-7x-1 = 0 #

então use a fórmula quadrática para raízes:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Nesse caso

#x = (7 + -sqrt (49 + 20)) / 10 #

Usando uma calculadora:

#sqrt (69) = 8,306624 # (aprox.)

assim

# x = 15.306624 / 10 = 1,53 # (arredondado para o centésimo mais próximo)

ou

#x = -1.306624 / 10 = -0.13 # (arredondado para o centésimo mais próximo)