Quais são os extremos locais, se houver, de f (x) = (lnx) ^ 2 / x?

Responda:

Existe um mínimo local de #0# a #1#. (Que também é global) e um máximo local de # 4 / e ^ 2 # a # e ^ 2 #.

Explicação:

Para #f (x) = (lnx) ^ 2 / x #, observe primeiro que o domínio de # f # são os números reais positivos, # (0, oo) #.

Então encontre

#f '(x) = (2 (lnx) (1 / x) * x - (lnx) ^ 2 1) / x ^ 2 #

# = (lnx (2-lnx)) / x ^ 2 #.

# f '# é indefinido em # x = 0 # que não está no domínio da # f #, então não é um número crítico para # f #.

#f '(x) = 0 # Onde

# lnx = 0 # # # ou # # # 2-lnx = 0 #

# x = 1 # # # ou # # # x = e ^ 2 #

Teste os intervalos #(0,1)#, # (1, e ^ 2) #e # (e ^ 2, oo) #.

(Para números de teste, sugiro # e ^ -1, e ^ 1, e ^ 3 # - recordação # 1 = e ^ 0 # e # e ^ x # está aumentando.)

Nós achamos que # f '# muda de negativo para positivo quando passamos #1#, assim #f (1) = 0 # é um mínimo local,

e essa # f '# muda de positivo para negativo quando passamos # e ^ 2 #, assim #f (e ^ 2) = 4 / e ^ 2 # é um máximo local.