Como você divide (i + 8) / (3i -1) na forma trigonométrica?

# (i + 8) / (3i-1) #

# = (8 + i) / (- 1 + 3i) #

Primeiro de tudo, temos que converter esses dois números em formas trigonométricas.

E se # (a + ib) # é um número complexo, #você# é a sua magnitude e #alfa# é o seu ângulo então # (a + ib) # na forma trigonométrica é escrito como #u (cosalpha + isinalpha) #.

Magnitude de um número complexo # (a + ib) # É dado por#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # e seu ângulo é dado por # tan ^ -1 (b / a) #

Deixei # r # ser a magnitude de # (8 + i) # e # theta # seja o seu ângulo.

Magnitude de # (8 + i) = sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt65 = r #

Ângulo de # (8 + i) = Tan ^ -1 (1/8) = teta #

#implies (8 + i) = r (Costheta + isintheta) #

Deixei # s # ser a magnitude de # (- 1 + 3i) # e # phi # seja o seu ângulo.

Magnitude de # (- 1 + 3i) = sqrt ((- 1) ^ 2 + 3 ^ 2) = sqrt (1 + 9) = sqrt10 = s #

Ângulo de # (- 1 + 3i) = Tan ^ -1 (3 / -1) = Tan ^ -1 (-3) = phi #

#implies (-1 + 3i) = s (Cosphi + isinphi) #

Agora,

# (8 + i) / (- 1 + 3i) #

# = (r (Costheta + isintheta)) / (s (Cosphi + isinphi)) #

# = r / s * (Costheta + isintheta) / (Cosphi + isinphi) * (Cosphi-isinphi) / (Cosphi-isinphi #

# = r / s * (costhetacosphi + isinthetacosphi-icosthetasinphi-i ^ 2sinthetasinphi) / (cos ^ 2phi-i ^ 2sin ^ 2phi) #

# = r / s * ((costhetacosphi + sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi-costhetasinphi)) / (cos ^ 2phi + sin ^ 2phi) #

# = r / s * (cos (teta-phi) + isin (teta-phi)) / (1) #

# = r / s (cos (teta-phi) + isina (teta-phi)) #

Aqui temos todas as coisas presentes, mas se aqui substituirmos diretamente os valores, a palavra seria confusa para encontrar #theta -phi # então vamos primeiro descobrir # theta-phi #.

# theta-phi = tan ^ -1 (1/8) -tan ^ -1 (-3) #

Nós sabemos isso:

# tan ^ -1 (a) -tan ^ -1 (b) = tan ^ -1 ((a-b) / (1 + ab)) #

#implies tan ^ -1 (1/8) -tan ^ -1 (-3) = tan ^ -1 (((1/8) - (- 3)) / (1+ (1/8) (- 3))) #

# = tan ^ -1 ((1 + 24) / (8-3)) = tan ^ -1 (25/5) = tan ^ -1 (5) #

#implies theta -phi = tan ^ -1 (5) #

# r / s (cos (teta-phi) + isina (teta-phi)) #

# = sqrt65 / sqrt10 (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #

# = sqrt (65/10) (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #

# = sqrt (13/2) (cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #

Esta é sua resposta final.

Você também pode fazer isso por outro método.

Primeiramente, dividindo os números complexos e, em seguida, alterando-os para a forma trigonométrica, o que é muito mais fácil do que isso.

Primeiro de tudo, vamos simplificar o número dado

# (i + 8) / (3i-1) #

# = (8 + i) / (- 1 + 3i) #

Multiplique e divida pelo conjugado do número complexo presente no denominador, ou seja, # -1-3i #.

# (8 + i) / (- 1 + 3i) = ((8 + i) (- 1-3i)) / ((- 1 + 3i) (- 1-3i)) = (- 8-24i-i -3i ^ 2) / ((- 1) ^ 2- (3i) ^ 2) #

# = (- 8-25i + 3) / (1 - (- 9)) = (- 5-25i) / (1 + 9) = (- 5-25i) / 10 = -5 / 10- (25i) / 10 = -1 / 2- (5i) / 2 #

# (8 + i) / (- 1 + 3i) = - 1 / 2- (5i) / 2 #

Deixei # t # ser a magnitude de # (1 / 10- (5i) / 2) # e #beta# seja o seu ângulo.

Magnitude de # (- 1 / 2- (5i) / 2) = sqrt ((- 1/2) ^ 2 + (- 5/2) ^ 2) = sqrt (1/4 + 25/4) = sqrt (26 / 4) = sqrt (13/2) = t #

Ângulo de # (- 1 / 2- (5i) / 2) = Tan ^ -1 ((- 5/2) / (- 1/2)) = tan ^ -1 (5) = beta #

#implies (-1 / 2- (5i) / 2) = t (Cosbeta + isinbeta) #

#implies (-1 / 2- (5i) / 2) = sqrt (13/2) (Cos (tan ^ -1 (5)) + isin (tan ^ -1 (5))) #.