Dois acordes paralelos de um círculo com comprimentos de 8 e 10 servem como bases de um trapézio inscrito no círculo. Se o comprimento de um raio do círculo é 12, qual é a maior área possível de um trapézio inscrito descrito?

Responda:

# 72 * sqrt (2) + 9 * sqrt (119) ~ = 200.002 #

Explicação:

Considere as Figs. 1 e 2

Esquematicamente, poderíamos inserir um paralelogramo ABCD em um círculo, e sob a condição de que os lados AB e CD sejam cordas dos círculos, tanto na figura 1 como na figura 2.

A condição de que os lados AB e CD devem ser cordas do círculo implica que o trapézio inscrito deve ser um isósceles porque

as diagonais do trapézio (# AC # e #CD#) são iguais porque
#A chapéu B D = B chapéu A C = B chapéuD C = Um chapéu C D #

e a linha perpendicular a # AB # e #CD# passando pelo centro E divide esses acordes (isso significa que # AF = BF # e # CG = DG # e os triângulos formados pela intersecção das diagonais com bases em # AB # e #CD# são isósceles).

Mas desde que a área do trapézio é

# S = (b_1 + b_2) / 2 * h #, Onde # b_1 # significa base-1, # b_2 # para base-2 e # h # para altura e # b_1 # é paralelo a # b_2 #

E como o fator # (b_1 + b_2) / 2 # é igual nas hipóteses das Figuras 1 e 2, o que importa é em qual hipótese o trapézio tem maior altura (# h #). No presente caso, com cordas menores que o raio do círculo, não há dúvida de que na hipótese da figura 2 o trapézio tem uma altura maior e, portanto, tem uma área maior.

De acordo com a Figura 2, com # AB = 8 #, # CD = 10 # e # r = 12 #

#triangle_ (BEF) -> cos alfa = ((AB) / 2) / r = (8/2) / 12 = 4/3 = 1/3 #

# -> sin alpha = sqrt (1-1 / 9) = sqrt (8) / 3 = 2sqrt (2) / 3 #

# -> tan alpha = (alfa do pecado) / cos alfa = (2sqrt (2) / cancelar (3)) / (1 / cancelar (3)) = 2sqrt (2) #

#tan alfa = x / ((AB) / 2) # => # x = 8 / cancel (2) * cancel (2) sqrt (2) # => # x = 8sqrt (2) #

#triangle_ (ECG) -> cos beta = ((CD) / 2) / r = (10/2) / 12 = 5/12 #

# -> sin beta = sqrt (1-25 / 144) = sqrt (119) / 12 #

# -> beta beta = (beta beta) / cos beta = (sqrt (119)) / cancel (12)) / (5 / cancel (12)) = sqrt (119) / 5 #

#tan beta = y / ((CD) / 2) # => # y = 10/2 * sqrt (119) / 5 # => # y = sqrt (119) #

Então

# h = x + y #

# h = 8sqrt (2) + sqrt (119) #

# S = (b_1 + b_2) / 2 * h = (8 + 10) / 2 (8sqrt (2) + sqrt (119)) = 72sqrt (2) + 9sqrt (119) ~ = 200,002 #

O PERÍMETRO do trapézio isósceles ABCD é igual a 80cm. O comprimento da linha AB é 4 vezes maior que o comprimento de uma linha CD que é 2/5 o comprimento da linha BC (ou as linhas que são as mesmas em comprimento). Qual é a área do trapézio?

A área do trapézio é de 320 cm ^ 2. Deixe o trapézio ser como mostrado abaixo: Aqui, se assumirmos lado menor CD = a e maior lado AB = 4a e BC = a / (2/5) = (5a) / 2. Como tal BC = AD = (5a) / 2, CD = ae AB = 4a Assim, o perímetro é (5a) / 2xx2 + a + 4a = 10a Mas o perímetro é de 80 cm. Portanto, a = 8 cm. e dois lados paralelos mostrados como aeb são 8 cm. e 32 cm. Agora, desenhamos perpendiculares de C e D para AB, que formam dois triângulos retos iguais, cuja hipotenusa é 5 / 2xx8 = 20 cm. e base é (4xx8-8) / 2 = 12 e, portanto, sua altura é sqrt (20 ^ 2-

O raio do círculo maior é duas vezes maior que o raio do círculo menor. A área do donut é de 75 pi. Encontre o raio do círculo menor (interno).

O raio menor é 5 Seja r = o raio do círculo interno. Então o raio do círculo maior é 2r Da referência obtemos a equação para a área de um anel: A = pi (R ^ 2-r ^ 2) Substituto 2r para R: A = pi ((2r) ^ 2-r ^ 2) Simplifique: A = pi ((4r ^ 2- r ^ 2) A = 3pir ^ 2 Substituto na área dada: 75pi = 3pir ^ 2 Divida ambos os lados por 3pi: 25 = r ^ 2 r = 5

Os comprimentos de dois lados paralelos de um trapézio são 10 cm e 15 cm. Os comprimentos dos outros dois lados são de 4 cm e 6 cm. Como você vai descobrir a área e as magnitudes de 4 ângulos do trapézio?

Então, a partir da figura, sabemos: h ^ 2 + x ^ 2 = 16 ................ (1) h ^ 2 + y ^ 2 = 36 .... ............ (2) e, x + y = 5 ................ (3) (1) - (2) => (x + y) (xy) = -20 => yx = 4 (usando eq. (3)) ..... (4) so, y = 9/2 e x = 1/2 e assim, h = sqrt63 / 2 A partir desses parâmetros, a área e os ângulos do trapézio podem ser obtidos facilmente.