As letras da palavra CONSTANTINOPLE são escritas em 14 cartões, um de cada cartão. As cartas são embaralhadas e depois arrumadas em linha reta. Quantos arranjos existem onde não há duas vogais próximas umas das outras?

Responda:

#457228800#

Explicação:

CONSTANTINOPLE

Primeiro de tudo, considere apenas o padrão de vogais e consoantes.

Nos é dado #5# vogais, que vão dividir a sequência de #14# letras em #6# subseqüências, a primeira antes da primeira vogal, a segunda entre a primeira e a segunda vogais, etc.

O primeiro e o último destes #6# seqüências de consoantes podem estar vazias, mas o meio #4# deve ter pelo menos uma consoante para satisfazer a condição de que não haja duas vogais adjacentes.

Isso nos deixa com #5# consoantes para dividir entre os #6# seqüências. Os possíveis agrupamentos são #{5}#, #{4,1}#, #{3,2}#, #{3,1,1}#, #{2,2,1}#, #{2,1,1,1}#, #{1,1,1,1,1}#. O número de maneiras diferentes de alocar as partes do cluster entre as #6# subseqüências para cada um desses agrupamentos é o seguinte:

#{5}: 6#

# {4,1}: 6xx5 = 30 #

# {3,2}: 6xx5 = 30 #

# {3, 1, 1}: (6xx5xx4) / 2 = 60 #

# {2, 2, 1}: (6xx5xx4) / 2 = 60 #

# {2, 1, 1, 1}: (6xx5xx4xx3) / (3!) = 60 #

#{1,1,1,1,1}: 6#

Isso é um total de #252# maneiras de dividir #5# consoantes entre #6# subseqüências.

Em seguida, observe as subsequências de vogais e consoantes nos arranjos:

o #5# vogais podem ser encomendadas em #(5!)/(2!) = 60# maneiras desde há #2# Oé.

o #9# consoantes podem ser encomendados em #(9!)/(3!2!) = 30240# maneiras desde há #3# N'areia #2# T's

Assim, o número total de arranjos que satisfazem as condições é #252*60*30240 = 457228800#