Qual é a equação da parábola com foco em (5,3) e uma diretriz de y = -12?

Responda:

# y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

Explicação:

A definição de uma parábola afirma que todos os pontos da parábola têm sempre a mesma distância do foco e da diretriz.

Nós podemos deixar # P = (x, y) #, o que representará um ponto geral na parábola, podemos deixar # F = (5,3) # representam o foco e # D = (x, -12) # representam o ponto mais próximo da diretriz, o # x # é porque o ponto mais próximo da diretriz é sempre para baixo.

Agora podemos configurar uma equação com esses pontos. Vamos usar a fórmula da distância para calcular as distâncias:

# d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Podemos aplicar isso aos nossos pontos para obter primeiro a distância entre # P # e # F #:

#d_ (PF) = sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) #

Então vamos trabalhar a distância entre # P # e # D #:

#d_ (PD) = sqrt ((x-x) ^ 2 + (y - (- 12)) ^ 2) #

Como essas distâncias devem ser iguais entre si, podemos colocá-las em uma equação:

#sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) = sqrt ((y + 12) ^ 2) #

Desde o ponto # P # está em forma geral e pode representar qualquer ponto na parábola, se pudermos resolver # y # na equação, ficaremos com uma equação que nos dará todos os pontos da parábola, ou seja, será a equação da parábola.

Primeiro, vamos marcar os dois lados:

# (sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2)) ^ 2 = (sqrt ((y + 12) ^ 2)) ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (y + 12) ^ 2 #

Podemos então expandir:

# x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-6y + 9 = y ^ 2 + 24y + 144 #

Se colocarmos tudo à esquerda e coletar termos semelhantes, obtemos:

# x ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30y = x ^ 2-10x-110 #

# y = x ^ 2 / 30- (10x) / 30-110 / 30 #

# y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

qual é a equação da nossa parábola.