X ^ 6 - 5x ^ 3 + 8 ................ (fatorar)?

Responda:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 = #

# (x ^ 2- (alfa + barra (alfa)) x + 2) (x ^ 2- (omegaalfa + omega ^ 2bar (alfa)) x + 2) (x ^ 2- (omega ^ 2alfa + omegabar (alfa)) x + 2) #

como descrito abaixo…

Explicação:

Aviso:

Esta resposta pode ser mais avançada do que se espera que você saiba.

Notas

É possível simplificar e encontrar:

# alpha + bar (alpha) = 1/2 (1 + sqrt (21)) #

# omegaalpha + omega ^ 2bar (alfa) = 1/2 (1-sqrt (21)) #

# omega ^ 2alpha + omegabar (alpha) = -1 #

mas não é (ainda) claro para mim qual a melhor maneira de fazer isso.

Responda:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Explicação:

Aqui está um método mais simples …

Dado:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

Procure por uma fatoração do formulário:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + alfa x + 2) (x ^ 2 + beta x + 2) (x ^ 2 + gammax + 2) #

# = x ^ 6 + (alfa + beta + gama) x ^ 5 + (alfa + betagama + gamma alfa + 6) x ^ 4 + (2 (alfa + beta + gama) + alfabagma) x ^ 3 + (2 (alfa) + betagama + gammaalfa) +12) x ^ 2 + 4 (alfa + beta + gama) x + 8 #

Coeficientes de equação, encontramos:

# {(alfa + beta + gama = 0), (alfa + betagama + gammaalfa = -6), (alfabetagrama = -5):} #

assim #alpha, beta, gamma # são os zeros do cúbico:

# (x-alpha) (x-beta) (x-gama) #

# = x ^ 3- (alfa + beta + gama) x ^ 2 + (alfa + betagama + gammaalfa) x ~ alfabetoagame #

# = x ^ 3-6x + 5 #

Note que a soma dos coeficientes deste cúbico é #0#. Isso é #1-6+5 = 0#.

Conseqüentemente # x = 1 # é um zero e # (x-1) # um fator:

# x ^ 3-6x + 5 = (x-1) (x ^ 2 + x-5) #

Os zeros da quadrática restante podem ser encontrados usando a fórmula quadrática como:

#x = (-1 + -sqrt (1 ^ 2-4 (1) (- 5))) / (2 (1)) = 1/2 (-1 + -sqrt (21)) #

assim # {alfa, beta, gama} = {1, -1 / 2 + sqrt (21) / 2, -1 / 2-sqrt (21) / 2} #

Assim:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Bônus

Podemos generalizar a derivação acima?

# x ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 #

# = (x ^ 2 + alfa x + q) (x ^ 2 + beta x + q) (x ^ 2 + gammax + q) #

# = x ^ 6 + (alfa + beta + gama) x ^ 5 + (alfa + betagama + gammaalfa + 3q) x ^ 4 + (q (alfa + beta + gama) + alfabagma) x ^ 3 + q (alfa + beta betagama + gammaalfa + 3q) x ^ 2 + q ^ 2 (alfa + beta + gama) x + q ^ 3 #

Coeficientes de equação:

# {(alfa + beta + gamma = 0), (alfa + betagama + gammaalfa = -3q), (alphabetagamma = p):} #

Conseqüentemente #alpha, beta, gamma # são os zeros de:

# x ^ 3-3qx-p #

Então, se podemos encontrar três zeros reais deste cúbico, então temos a fatoração da sextic # x ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 # em três quadráticos com coeficientes reais.