Dois cantos de um triângulo isósceles estão em (9, 6) e (7, 2). Se a área do triângulo é 64, quais são os comprimentos dos lados do triângulo?

Responda:

# "sides" a = c = 28.7 "unidades" # e # "lado" b = 2sqrt5 "unidades" #

Explicação:

deixei #b = # a distância entre os dois pontos:

#b = sqrt ((9-7) ^ 2 + (6-2) ^ 2) #

#b = 2sqrt5 "units" #

Nós somos dados que o # "Área" = 64 "unidades" ^ 2 #

Seja "a" e "c" os outros dois lados.

Por um triângulo, # "Area" = 1 / 2bh #

Substituindo os valores de "b" e a área:

# 64 "units" ^ 2 = 1/2 (2sqrt5 "units") h #

Resolva a altura:

#h = 64 / sqrt5 = 64 / 5sqrt5 "unidades" #

Deixei #C = # o ângulo entre o lado "a" e o lado "b", então podemos usar o triângulo retângulo formado pelo lado "b" e a altura para escrever a seguinte equação:

#tan (C) = h / (1 / 2b) #

#tan (C) = (64 / 5sqrt5 "unidades") / (1/2 (2sqrt5 "unidades")) #

#C = tan ^ -1 (64/5) #

Podemos encontrar o comprimento do lado "a", usando a seguinte equação:

#h = (a) sin (C) #

#a = h / sin (C) #

Substitua nos valores de "h" e "C":

#a = (64 / 5sqrt5 "unidades") / sin (tan ^ -1 (64/5)) #

#a = 28.7 "unidades" #

A intuição me diz que o lado "c" é do mesmo tamanho que o lado "a", mas podemos provar isso usando a Lei dos Cosenos:

# c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2 (a) (b) cos (C) #

Substitua nos valores para a, b e C:

# c ^ 2 = (28,7 "unidades") ^ 2 + (2sqrt5 "unidades") ^ 2 - 2 (28,7 "unidades") (2sqrt5 "unidades") cos (tan ^ -1 (64/5)) #

#c = 28.7 "unidades" #