Dois cantos de um triângulo isósceles estão em (8, 7) e (2, 3). Se a área do triângulo é 64, quais são os comprimentos dos lados do triângulo?

Responda:

Veja um processo de solução abaixo:

Explicação:

A fórmula para a área de um triângulo isósceles é:

#A = (bh_b) / 2 #

Primeiro, devemos determinar o comprimento da base dos triângulos. Podemos fazer isso calculando a distância entre os dois pontos dados no problema. A fórmula para calcular a distância entre dois pontos é:

#d = sqrt ((cor (vermelho) (x_2) - cor (azul) (x_1)) ^ 2 + (cor (vermelho) (y_2) - cor (azul) (y_1)) ^ 2) #

Substituir os valores dos pontos no problema fornece:

#d = sqrt ((cor (vermelho) (2) - cor (azul) (8)) ^ 2 + (cor (vermelho) (3) - cor (azul) (7)) ^ 2) #

#d = sqrt ((- 6) ^ 2 + (-4) ^ 2) #

#d = sqrt (36 + 16) #

#d = sqrt (52) #

#d = sqrt (4 xx 13) #

#d = sqrt (4) sqrt (13) #

#d = 2sqrt (13) #

A base do triângulo é: # 2sqrt (13) #

Nos é dada a área é #64#. Podemos substituir nosso cálculo acima por # b # e resolver para # h_b #:

# 64 = (2sqrt (13) xx h_b) / 2 #

# 64 = sqrt (13) h_b #

# 64 / cor (vermelho) (sqrt (13)) = (sqrt (13) h_b) / cor (vermelho) (sqrt (13)) #

# 64 / sqrt (13) = (cor (vermelho) (cancelar (cor (preto) (sqrt (13)))) h_b) / cancelar (cor (vermelho) (sqrt (13))) #

#h_b = 64 / sqrt (13) #

A Altura do Triângulo é: # 64 / sqrt (13) #

Para encontrar o comprimento dos lados dos triângulos, precisamos lembrar a linha média de um isósceles:

- divide a base do triângulo em duas partes iguais

- forma um ângulo reto com a base

Portanto, podemos usar o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento do lado do triângulo onde o lado é a hipotenusa e a altura e #1/2# a base são os lados.

# c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 # torna-se:

# c ^ 2 = (1/2 xx 2sqrt (13)) ^ 2 + (64 / sqrt (13)) ^ 2 #

# c ^ 2 = (sqrt (13)) ^ 2 + (64 / sqrt (13)) ^ 2 #

# c ^ 2 = 13 + 4096/13 #

# c ^ 2 = 169/13 + 4096/13 #

# c ^ 2 = 4265/13 #

#sqrt (c ^ 2) = sqrt (4265/13) #

# c ^ 2 = (sqrt (25) sqrt (185)) / sqrt (13) #

# c ^ 2 = (5sqrt (185)) / sqrt (13) #

O comprimento do lado do triângulo é: # (5sqrt (185)) / sqrt (13) #