Seja p uma matriz não singular 1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 + cdots + p ^ n = O (O denota a matriz nula), então p ^ -1 é?

Responda:

A resposta é # = - (Eu + p + ……… p ^ (n-1)) #

Explicação:

Nós sabemos isso

# p ^ -1p = eu #

# I + p + p ^ 2 + p ^ 3 ….. p ^ n = O #

Multiplique ambos os lados por # p ^ -1 #

# p ^ -1 * (1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 ….. p ^ n) = p ^ -1 * O #

# p ^ -1 * 1 + p ^ -1 * p + p ^ -1 * p ^ 2 + …… p ^ -1 * p ^ n = O #

# p ^ -1 + (p ^ -1p) + (p ^ -1 * p * p) + ……… (p ^ -1p * p ^ (n-1)) = O #

# p ^ -1 + (I) + (I * p) + ……… (I * p ^ (n-1)) = O #

Assim sendo, # p ^ -1 = - (Eu + p + ……… p ^ (n-1)) #

Responda:

Ver abaixo.

Explicação:

#p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1)) = 0 # mas # p # por hipótese é não singular, então existe # p ^ -1 # assim

# p ^ -1 p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1)) = p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1) = 0 #

e finalmente

# p ^ - 1 = - sum_ (k = 1) ^ (n-1) p ^ k #

Também pode ser resolvido como

# p ^ -1 = -p (soma_ (k = 0) ^ (n-2) p ^ k) = p (p ^ (n-1) + p ^ n) = p ^ n (1-p) #