Encontre a equação do círculo com A (2, -3) e B (-3,5) como pontos finais de um diâmetro?

Para encontrar a equação de um círculo, precisamos encontrar o raio e o centro.

Como temos os pontos finais do diâmetro, podemos usar a fórmula do ponto médio para obter o ponto médio, que também é o centro do círculo.

Encontrando o ponto médio:

#M = ((2 + (- 3)) / 2, (- 3 + 5) / 2) = (- 1 / 2,1) #

Então o centro do círculo é #(-1/2,1)#

Encontrando o raio:

Como temos as extremidades do diâmetro, podemos aplicar a fórmula de distância para encontrar o comprimento do diâmetro. Então, dividimos o comprimento do diâmetro por 2 para obter o raio. Alternativamente, podemos usar as coordenadas do centro e um dos pontos finais para encontrar o comprimento do raio (deixarei isso para você - as respostas serão as mesmas).

#AB = sqrt ((2 - (- 3)) ^ 2 + (-3-5) ^ 2) #

#:. AB = sqrt (89) #

# radius = sqrt (89) / 2 #

A equação geral de um círculo é dada por:

# (x-a) ^ 2 + (y-b) ^ 2 = r ^ 2 #

Então nós temos, # (x - (- 1/2)) ^ 2+ (y-1) ^ 2 = (sqrt (89) / 2) #

Portanto, a equação do círculo é # (x + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 89/4 #

Responda:

# x ^ 2 + y ^ 2 + x-2y-21 = 0 #

Explicação:

A equação do círculo com #A (x_1, y_1) e B (x_2, y_2) # Como

endpoints de um diâmetro é

#color (vermelho) ((x-x_1) (x-x_2) + (y-y_1) (y-y_2) = 0) #.

Nós temos, #A (2, -3) e B (-3,5). #

#:.# A equação necessária do círculo é, # (x-2) (x + 3) + (y + 3) (y-5) = 0 #.

# => x ^ 2 + 3x-2x-6 + y ^ 2-5y + 3y-15 = 0 #

# => x ^ 2 + y ^ 2 + x-2y-21 = 0 #

Responda:

# (x + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 89/4 #

Explicação muito completa dada

Explicação:

Há duas coisas para resolver ouvir.

1: o que é o raio (vamos precisar disso)

2: onde está o centro do círculo.

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#color (azul) ("Determinar o ponto central") #

Estes serão os valores médios de x e a média dos y

Valor médio de # x #: vamos de -3 a 2, que é uma distância de 5. Metade dessa distância é #5/2# então nós temos:

#x _ ("média") = -3 + 5/2 = -1 / 2 #

Valor médio de # y #: vamos de -3 a 5, que é 8. Metade de 8 é 4 então temos: #-3+4=+1#

#color (vermelho) ("Ponto central" -> (x, y) = (-1 / 2, + 1)) #

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#color (azul) ("Determinar o raio") #

Usamos Pitágoras para determinar a distância entre os pontos

# D = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) #

# D = sqrt (2 - (- 3) ^ 2 + - 3-5 ^ 2) #

# D = sqrt (25 + 64) = sqrt (89) # Note que 89 é um número primo

#color (vermelho) ("So radius" -> r = D / 2 = sqrt (89) /2~~4.7169905 … "Aproximadamente") #

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#color (azul) ("Determinar a equação do círculo") #

Isto não é o que realmente está acontecendo, mas o que segue irá ajudá-lo a lembrar a equação.

Se o centro estiver em # (x, y) = (- 1 / 2,1) # então, se movermos esse ponto de volta para a origem (cruzamento do eixo), temos:

# (x + 1/2) e (y-1) #

Para fazer isso na equação de um círculo, usamos Pitágoras (novamente) dando:

# r ^ 2 = (x + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Mas nós sabemos que # r = sqrt (89) / 2 "so" r ^ 2 = 89/4 # dando:

# (x + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 89/4 #