Qual é o significado da frase matriz invertível?

A resposta curta é que, em um sistema de equações lineares, se a matriz do coeficiente é invertível, sua solução é única, ou seja, você tem uma solução.

Existem muitas propriedades para uma matriz invertível listar aqui, então você deve olhar o Teorema da Matriz Invertível. Para que uma matriz seja invertível, ela deve ser quadrado, isto é, tem o mesmo número de linhas que as colunas.

Em geral, é mais importante saber que uma matriz é inversível, em vez de produzir uma matriz invertível, porque é mais computacionalmente gasto calcular a matriz invertível em comparação com apenas a solução do sistema. Você calcularia uma matriz inversa se estivesse resolvendo muitas soluções.

Suponha que você tenha esse sistema de equações lineares:

# 2x + 1.25y = b_1 #

# 2.5x + 1.5y = b_2 #

e você precisa resolver # (x, y) # para os pares de constantes: #(119.75, 148), (76.5, 94.5), (152.75, 188.5)#. Parece um monte de trabalho! Em forma de matriz, este sistema se parece com:

# Ax = b #

Onde #UMA# é a matriz de coeficiente # x # é o vetor # (x, y) # e # b # é o vetor # (b_1, b_2) #. Nós podemos resolver para # x # com alguma álgebra matricial:

# x = A ^ (- 1) b #

Onde #A ^ (- 1) # é a matriz inversa. Existem diferentes maneiras de calcular a matriz inversa, então não vou entrar nisso agora.

#A ^ (- 1) = #

#-12, 10#

#20, -16#

Então, para obter as soluções, temos:

# 12 * 119,75 + 10 * 148 = 43 = x_1 #

# 20 * 119.75-16 * 148 = 27 = y_1 #

# -12 * 76,5 + 10 * 94,5 = 27 = x_2 #

# 20 * 76,5-16 * 94,5 = 18 = y_2 #

# 12 * 152,75 + 10 * 188,5 = 52 = x_3 #

# 20 * 152,75-16 * 188,5 = 39 = y_3 #

Agora, isso não é mais fácil do que resolver 3 sistemas?