Qual é o ortocentro de um triângulo com cantos em (5, 2), (3, 7) e (4, 9) #?

Responda:

#(-29/9, 55/9)#

Explicação:

Encontre o ortocentro do triângulo com vértices de #(5,2), (3,7),(4,9)#.

Vou nomear o triângulo # DeltaABC # com # A = (5,2) #, # B = (3,7) # e # C = (4,9) #

O ortocentro é a interseção das altitudes de um triângulo.

Uma altitude é um segmento de linha que passa por um vértice de um triângulo e é perpendicular ao lado oposto.

Se você encontrar a interseção de duas das três altitudes, este é o ortocentro, porque a terceira altitude também irá cruzar as outras neste ponto.

Para encontrar a interseção de duas altitudes, você deve primeiro encontrar as equações das duas linhas que representam as altitudes e resolvê-las em um sistema de equações para encontrar sua interseção.

Primeiro vamos encontrar a inclinação do segmento de linha entre #A e B # usando a fórmula de inclinação # m = frac {y_2-y_1} {x_2-x_1} #

#m_ (AB) = frac {7-2} {3-5} = - 5/2 #

O declive uma linha perpendicular a este segmento de linha é o sinal oposto recíproco de #-5/2#, qual é #2/5#.

Usando a fórmula de inclinação de ponto # y-y_1 = m (x-x_1) # podemos encontrar a equação de altitude do vértice # C # para o lado # AB #.

# y-9 = 2/5 (x-4) #

# y-9 = 2/5 x -8 / 5 #

# -2 / 5x + y = 37 / 5color (branco) (aaa) # ou

# y = 2/5 x + 37/5 #

Para encontrar a equação de uma segunda altitude, encontre a inclinação de um dos outros lados do triângulo. Vamos escolher o BC.

#m_ (BC) = frac {9-7} {4-3} = 2/1 = 2 #

A inclinação perpendicular é #-1/2#.

Para encontrar a equação da altitude do vértice #UMA# para o lado # BC #, use novamente a fórmula de inclinação de ponto.

# y-2 = -1 / 2 (x-5) #

# y-2 = -1 / 2x + 5/2 #

# 1/2 x + y = 9/2 #

O sistema de equações é

#color (branco) (a ^ 2) 1/2 x + y = 9/2 #

# -2 / 5x + y = 37/5 #

Resolver este sistema produz #(-29/9, 55/9)#